Örnek Sayı

Tam Sayıların Öğretiminde Temsiller

Doç. Dr. Ali Sabri İPEK

Recep Tayyip Erdoğan Üniversitesi
Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Eğitimi Anabilim Dalı


Tam sayının tanımı

Tam sayılar, doğal sayılar kümesinin gerek matematiksel gerekse günlük yaşam durumlarından kaynaklı genişletilme ihtiyacı sonucunda ortaya çıkmıştır. x+5=3 şeklindeki bir eşitliğin doğal sayılar kümesinde bir çözümünün olmaması doğal sayıların matematiksel olarak genişletilme ihtiyacına örnek olarak verilebilir. 0 °C‘nin altındaki sıcaklık değerlerinin veya borç-alacak durumlarında borçların ifade edilmesi gibi durumların doğal sayılarla ifade edilememesi ise bu sayıların günlük yaşam kaynaklı genişletilme ihtiyacına örnek olarak gösterilebilir.

Doğal sayıların genişletilmesiyle elde edilen tam sayıları yine doğal sayılar yardımıyla tanımlayabilmekteyiz. Bunun için dematematikte oldukça önemli iki kavram olan sıralı ikili ve bağıntıyı kullanmak durumundayız. Aslında her bir tam sayıyı aynı zamanda bir doğal sayı ikilisi olarak ele almak mümkündür.Doğal sayılar kümesi üzerinde;

a, b, c, d ∈ N olmak üzere (a, b) β(c, d) ⇔ a  + d = c + b 

şeklinde tanımlanan βbağıntısı bir denklik bağıntısı oluşturmaktadır.Herhangi bir küme üzerinde tanımlı bir denklik bağıntısının özelliklerinden biri de üzerinde tanımlandığı kümeyi ayrık denklik sınıflarına bölmesidir. Dolayısıyla yukarıdaki gibi tanımlıβdenklik bağıntısına göre herhangi bir doğal sayı ikilisinin denklik sınıfına tam sayı adı verilmektedir (Kutlu ve Kutlu,1990).

a ̅, a sayma sayısının denklik sınıfını göstermek üzere (0,a) ̅ = -a şeklindeki sayılardan oluşturulan kümeye negatif tam sayılar kümesi (Z-) , (a,0) ̅ = +a şeklindeki sayılardan oluşturulan kümeye ise pozitif tam sayılar kümesi (Z+) adı verilir. Buna göre örneğin -3 negatif tam sayısı (0,3), (1,4), (2,5) vb. doğal sayı ikililerinin; benzer şekilde +5 pozitif tam sayısı ise (5,0), (8, 3), (11, 6) vb. doğal sayı ikililerinin herhangi biri ile temsil edilebilir. Ve buna göre tanımlanan negatif tam sayılar (Z-) ve pozitif tam sayılar (Z+) kümeleri ile tam sayılar kümesi Z = Z∪ {0} ∪ Zolarak elde edilmektedir.

Temsiller ve Tam sayıların öğretimi

Akıl yürütme, ilişkilendirme ve iletişim gibi matematiksel süreç becerileri gerek ulusal gerekse uluslararası düzeydeki matematik öğretim programlarında problem çözme becerisiyle birlikte özellikle son yıllarda çok daha fazlasıyla öne çıkarılmakta ve özellikle vurgulanmaktadır. Matematiksel süreç becerilerinden biri olarak ilişkilendirme becerisi genel olarak matematiğin kendi içerisinde ve matematiği farklı disiplinlerle ilişkilendirme olmak üzere iki alt boyutta ele alınmaktadır. Matematik derslerinde çoklu temsillerin kullanımı ya da matematiksel kavramların çoklu temsillerle ifadesi ise matematiğin kendi içinde ilişkilendirme kapsamına girmektedir.Dolayısıyla matematiksel kavramların çoklu temsillerle gösterimi matematik öğretim programlarında sıklıkla vurgulanmaktadır. Aynı zamanda matematiksel kavramların doğası çoklu gösterimlerle ifade edilmelerini gerekli kılmakta ve bu bağlamda temsiller matematiksel kavramların öğrenme-öğretme süreçlerinde oldukça yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Temelde herhangi bir kavramı başka bir formda sunma olarak tanımlanabilecek temsiller özellikle matematiksel anlama sürecine de önemli katkılar sağlamaktadır.Çünkü matematiksel anlamanın yollarından biri de ilgili kavramın çoklu temsilleri ve bu temsiller arasındaki dönüşümlerdir. Bu anlamda temsiller matematikteki her konuda olduğu gibi sayılar ve işlemlerde de geniş bir kullanım alanına sahiptir.

İlkokulda sayılar ve işlemler öğrenme alanında yer alan doğal sayılar ve kesirlerle ilgili temel kavramları edinen öğrenciler tam sayılarla ilk kez ortaokul sıralarında karşılaşmaktadırlar. Öğrencilerin bu süreçte tam sayılarla ilgili temel özellikler ve tam sayılarla işlemler konularında zorluklar yaşamaları kuvvetle muhtemeldir. Bu bağlamda temsiller hem bu kavramların tanıtılması hem de bu kavramla ilgili kavramsal temellerin oluşturulması sürecinde önemli işlevlere sahiptir. Bu nedenler dolayısıyla da öğretmenler ortaokul matematiğinin önemli konularından biri olan tam sayıların öğretiminde temsilleri sıklıkla tercih etmektedirler.

Temsil sistemi üzerinde farklı sınıflandırmalar mevcuttur. Temsiller genel olarak iç ve dış olarak iki kategoriye ayrılmakta ve bu iki kategori kapsamında farklı modeller geliştirilmektedir. Dış temsiller kategorisi içerisinde yer verilen çoklu temsiller için de ilgili konu veya kavramlara göre farklı sınıflandırmalar mevcuttur. Tam sayıların öğretiminde de bu türde farklı sınıflandırmalar söz konu olmakla birlikte, bu konu özelinde genel olarak semboller, modeller ve bağlamlar olmak üzere üç temsil türü kullanılmaktadır (Kumar, Subramaniam &Naik, 2017). Bu temsil türlerine dikkat edilirse burada soyuttan somuta doğru belli bir döngünün söz konusu olduğu görülecektir. Bir başka ifadeyle bu temsil türlerinden sembolleri soyut, modelleri yarı somut/soyut ve bağlamları ise somut olarak ele almak mümkündür.Tam sayılar konusundaki bu temsil türleri ve bu süreçte dikkate alınması gerekli hususlar üzerinde bilgi sahibi olmak bu kavramlara yönelik sınıf içinde yapılacak öğretim faaliyetlerinin niteliğine doğrudan katkı sağlayacaktır.

i) Semboller

Matematikte oldukça yoğun şekilde kullanılan sembollerin temel işlevinin ilgili kavramları tanımlayarak en kısa/sade şekilde ifade etmek olduğu söylenebilir. Semboller soyut olarak değerlendirilmekle birlikte aslında ders materyallerinde ve öğretim ortamlarında da oldukça yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Bununla birlikte matematiksel sembollerin öğrenciler tarafından anlaşılması ve kullanılması hiç de kolay olmamakta ve bu süreç genellikle zaman almaktadır. Tam sayılar ve bu sayılarla işlemler konularında ise bu temsil türü,pozitif ve negatif tam sayılar ile ‘+’ ve ‘-’ işaretlerini de içerecek şekilde bu sayılarla yürütülen işlemler ile ilgilidir. Sembollerin kullanımına tam sayılarla çarpma işlemini toplama işlemiyle ilişkilendiren aşağıdaki eşitlikler örnek olarak verilebilir:

(+2) . (+3)  = [(+3) +(+3)]
(+2) . (-3)   = [(-3) + (-3)]

                                     (-2) . (+3)   = (-)[(+3) + (+3)]
                                     (-2) . (-3)    = (-)[(-3) + (-3)]

Tam sayılar konusunda pozitif ve negatif tam sayıların işaretleri ile toplama ve çıkarma işlemlerinin(sayı ve işlem işaretlerinin) aynı gösterime sahip olması, öğrencilerin bu kavramları anlama ve ayırt etmelerindeki önemli öğrenme güçlüklerinden birini oluşturmaktadır. Yani bu konuda ‘+’ sembolü hem bir pozitif tam sayının hem de toplama işleminin işareti; ‘-‘ sembolü de hem bir negatif tam sayının hem de çıkarma işleminin işareti olarak kullanılmaktadır. Daha önceki konularda ‘-‘ işaretini yalnızca çıkarma işleminin bir sembolü olarak görmüş olan öğrenciler için tam sayılar konusunun bu anlamda önemli bir eşik noktası olduğunu söylemek mümkündür. Ve bu bağlamda özellikle‘-‘ işaretinin kullanımının daha önceden bilinen doğal sayılar veya kesirlerdeki çıkarma işlemindeki anlamın ötesine taşınması gerekmektedir. ‘–‘ işaretinin çoklu kullanımlarına vurgu yapan Vlassis (2008) bu noktada tekli, ikili (çift) ve simetrik olmak üzere üç farklı anlamdan söz etmektedir. Tekli fonksiyonunda (3 sayının önüne eksi işareti konularak -3 sayısını elde etme örneğinde olduğu gibi) ‘-’ işareti negatif bir sayı oluşturmak için ilgili sayının önüne eklenmektedir. 4-1 şeklindeki bir çıkarma işleminde işaret olarak ‘-‘ nin kullanımı ise bu işaretin ikili fonksiyonuyla ilgili kullanıma yönelik bir örnektir. Simetrik fonksiyonda ise eksi işareti (-(-5) örneğindeki gibi) bir sayının toplama işlemine göre tersini alma işleminde kullanılmaktadır.Öğrenciler bu gibi fonksiyonları derslerde daha etkin bir şekilde kullandığı takdirde herhangi iki tam sayının çıkarma işleminin aynı zamanda eksilen ile çıkanın ters işaretlisiyle toplamak anlamına gelmesi gibi özellikleri daha kolay bir şekilde kazanabilir.Yukarıdaki açıklamalara ve örneklere dikkat edilirse ‘-‘ işaretinin matematikte yalnızca bir şekilde karşımıza çıkmadığı görülmektedir. Bununla birlikte ‘-‘ sembolü için yukarıda sözü edilen anlamların dışında ‘toplamanın tersi’, ‘çıkarma işleminin işareti’ , ‘-1 ile çarpma’ , ‘sıfırdan uzaklık’ gibi farklı yorumlamalarda da bulunmak mümkündür. Bu gibi farklı anlamlar veya yorumlamalar öğrencilerin bu süreçlerdeki yaşayabilecekleri muhtemel zorlukların temel kaynaklarını oluşturmaktadır. Bu kavramlar ve sembollere yönelik matematik öğretmenlerinin alan ve öğretim bilgileri oldukça önemli bir konu olarak öne çıkmaktadır. Öğrencilerin tam sayı kavramının ve işlemlerin gelişimi süreci açısından yukarıda sözü edilen bu farklı anlamların her biri üzerinde öğretmenlerin bilgi sahibi olmaları ve sembolik temsilleri bu farklı anlamları dikkate alarak kullanmaları gereklidir.

ii) Modeller

Matematiksel kavramların öğretimindeki/öğrenimindeki zorluklar matematik derslerinde model kullanımını gerekli kılmaktadır. Matematik eğitimi üzerinde güncel çalışmalarda matematik derslerinde modellerin yalnızca öğretmenler tarafından değil aynı zamanda öğrenciler tarafından da kullanımına vurgu yapılmaktadır. Modeller, hem sınıf içinde hem de ders materyallerinde tam sayılar ve bu sayılarla ilgili işlemlerin öğretiminde de sembolik temsiller kadar yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Tam sayıların öğretiminde farklı modeller dile getirilmekte ve kullanılmakla birlikte bu modeller arasında özelliklesayı doğrusu ve sayma pulları öne çıkmaktadır.Bu yazıda ise söz konusu bu modellerden sayı doğrusu üzerinde durulacaktır. 

Sayı doğrusu, özellikle sayılar ve işlemler öğrenme alanlarında kullanılan modellerin başında gelmektedir. Öğretmenler sayı doğrusunu sayıları, sayılar arasındaki ilişkileri ve işlemleri görselleştirmede kullanabilmektedirler. Teppo & van den Heuvel-Panhuizen (2014) sayı doğrusu modelini, sayılar ve işlemler arasındaki ilişkileri vurgulamak için düzenlenen temsil sisteminin bir bileşeni olarak ele almaktadır.Öğretim programlarında tam sayılardan önce yer verilen doğal sayı, kesirler, ondalık gösterimler ve bu sayılarla ilgili işlemlerin öğretiminde de sayı doğrusu modeli oldukça yoğun bir şekilde kullanmaktadırlar. Bu modellemeler genellikle tahtada çizilen sayı doğrusu ve üzerinde çizilen oklarla gerçekleştirilmektedir. Burada sayılar ile toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin görselleştirilmesi okların büyüklüğü ve yönü ile sağlanmaktadır. Sayıların çokluğu/büyüklüğü okların büyüklüğü ile ilgili işlemler ise okların yönü ile görselleştirilmeye çalışılmaktadır. Buradaki dört temel işlemden toplama ve çarpma ile çıkarma ve bölme işlemleri arasında temel bir farklılık noktası söz konusudur. Bu farklılığın aslında sayma temelli olduğunu söylemek mümkündür. Bir başka ifadeyle bu durum toplama ve çarpma işlemlerinin ileriye doğru (toplama işlemi ileriye doğru birerli- çarpma işlemi ileriye doğru ritmik), çıkarma ve bölme işlemlerinin (çıkarma işlemi geriye doğru birerli-bölme işlemi geriye doğru ritmik) ise geriye doğru saymaya dayalı olmasından kaynaklanmaktadır. Dolayısıyla ilgili modellemelerde toplama ve çarpma işlemleri ile çıkarma ve bölme işlemleri arasındaki bu farklılık okların yönleriyle verilmektedir.
Sayı doğrusu ilkokulda da çeşitli matematiksel kavramların öğretiminde/öğreniminde kullanılan bir modeldir. Sayı doğrusunun tam sayılardan daha önceki konularda da kullanılmış olmasını hem öğretmenler ve öğrenciler açısından olumlu bir unsur olarak değerlendirmek mümkündür. En azından öğrenciler tam sayılar ve bu sayılarla işlemlerde aşina oldukları sayı doğrusunun kullanımında hazır bulunuşluk açısından çok fazla sıkıntı yaşamayacaklardır. Bununla birlikte tam sayıların doğasından kaynaklı nedenler dolayısıyla tam sayıların ve ilgili işlemlerin modellemelerinde yine de zorluklar yaşanabilmektedir. Bir başka ifadeyle, daha önceki sayılar ve sayı kümeleri üzerindeki işlemler ile tam sayılar ve tam sayılarla ilgili işlemlerin modellemelerinde farklılıklar söz konusudur. Buradaki farklılıklardan biri de daha önceki sayı kümeleri üzerinde yürütülen işlemlerde kullanılan sayılar ile tam sayıların işaretlerinden kaynaklıdır.Kısacası, yönlü sayılar olarak da ifade edilen tam sayıların pozitif veya negatif olma durumları gereği bu sayılarda ‘+’ ve’-‘ sembollerinin kullanımı, kesirler ve ondalık gösterimde söz konusu değildir. Bu noktada pozitif ve negatif tam sayıların ifade edilmesinde bu sayıların önüne konan ‘+’ ve ‘–‘işaretleri ile toplama ve çıkarma işlemlerinin ifadeleri için kullanılan ‘+’ ve ‘–‘ işaretlerinin ayırt edilmesinde de zorluklar yaşanabilmektedir. Ve bahsedilen bu zorluk aynı zamanda sayı doğrusu ile modellemelerde yaşanan sıkıntıların temel kaynaklarından birini oluşturmaktadır. Çünkü sayı doğrusu üzerinde çizilen bu oklar hem sayılar ve işlemler arasındaki bu farklılıkları vurgulayabilmede sınırlı kalabilmektedir. Bu bağlamda Van De Walle, Karp ve Bay-Williams (2012)sayı doğrusu ve sayma pulları ile yapılacak modelleme çalışmalarında bu modelleri sınıf içinde kullanmanın ötesinde tam sayıların çokluk (büyüklük) ve terslik (zıtlık) boyutlarının üzerinde de durulmasına özellikle vurgu yapmaktadırlar.

Bu zorlukların giderilebilmesi veya en azından azaltılabilmesi amacıyla tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemleriyle ilgili çalışmalarda (Çemen, 1993; Billstein, Libeskind & Lott, 2010) da yer verilen aşağıdaki etkinlik, bu işlemleri daha anlamlı kılmada ve görsel olarak açıklamada kullanılabilir:

i) Sınıf zemini üzerine pozitif ve negatif tam sayıların da yer aldığı bir sayı doğrusu çizelim.
ii) Öncelikle 0 başlangıç noktasından duralım ve yüzümüzü sağa (pozitif tam sayıların olduğu yöne) dönelim.
iii) Sayımız pozitif tam sayı ise bulunduğumuz yönde ileriye doğru; negatif tam sayı ise geriye doğru (yönümüzü değiştirmeden) hareket edelim.
iv) İşlemimiz toplama (+) ise yönümüzü değiştirmeyelim çıkarma (-) ise yönümüzü değiştirelim.

Örneğin belirlenen bu aşamaları öncelikte “(+3) + (– 2) = ?” şeklindeki bir toplama işlemi için yürütelim:
i) Başlangıç noktasında (0 noktasında)sağa (pozitif tam sayılara) doğru dönülür.
ii) İleriye doğru 3 birim gidilir (+ 3).
iii) Yönde herhangi bir değişikliğe gidilmez (toplama işlemi).
iv) Bulunulan yönde geriye doğru iki birim gidilir (– 2).

Şekil 1. Sayı doğrusunda (+3) + (– 2) işleminin modellemesi

Toplama işlemi için yapılan bu aşamaları bir de “(-4) - (– 3) = ?” çıkarma işlemi için yürütelim:
i) Başlangıç noktasında (0 noktasında) sağa (pozitif tam sayılara) doğru dönülür
ii) Geriye doğru 4 birim gidilir (-4)
iii) Yön değişikliğine gidilir (çıkarma işlemi)
iv) Bulunulan yönde geriye doğru üç birim gidilir (– 3)

Şekil 2. Sayı doğrusunda (-4) - (– 3) işleminin modellemesi

Bu modellemeye dikkat edilirse burada ilgili ders materyallerinde ve sınıf içi uygulamalarda sıklıkla kullanılan sayı doğrusu modellemesinden bazı farklıklar söz konusudur. Öncelikle burada sayı doğrusu, sınıf tahtası yerine sınıf zemini üzerinde tasarlanmaktadır. Bu şekilde öğrenciler sayı doğrusu üzerine ileri-geri hareket ederek yönlü sayı olarak da adlandırılan tam sayılarla ilgili işlemleri bu model üzerinde uygulama fırsatına sahip olabilmektedirler. Ve bu kullanım şekli tam sayılarla ilgili işlemlerin özellikle yönle ilgili vurgulamalarında esneklik ve pratik yapma imkanı sağlamaktadır. Aynı zamanda bu şekilde modelleme ile sayı doğrusunda okların sayılar ve işlemler arasındaki farklılığı vurgulamadaki olası sınırlılığı da asgari düzeye indirilebilmektedir. Çünkü bu uygulamada ileriye yada geriye gitme ile bulunduğun yönü değiştirme/değiştirmeme şeklinde iki farklı aşama söz konusudur. Buradaki ilk aşama (bulunduğun yönde ileri/geriye gitme) tam sayının işaretiyle ilgili iken ikinci aşama (bulunduğun yönde değişikliğe gitme/gitmeme) ise tam sayılarla toplama veya çıkarma işlemiyle ilgilidir. Sonuç olarak bu modellemeyle pozitif tam sayının işareti ile toplama işleminin; negatif tam sayının işareti ile çıkarma işleminin işareti arasında fark çok daha net bir şekilde ortaya konabilmektedir. Kısacası tam sayılar (pozitif/negatif) ile tam sayılarla işlemler (toplama/çıkarma) arasında ortaya konması gerekli fark bu modelleme ile daha belirgin hale gelmektedir. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemi için tasarlanan bu etkinlik aynı zamanda tam sayılarla çarpma ve bölme işlemleri içinde düşünülebilir ve bu işlemlere genişletilebilir.

iii) Bağlamlar

Tam sayıların ve işlemlerin öğretiminde kullanılabilecek üçüncü ve son temsil türüde bağlamlardır. Matematikte bağlamların yalnızca bu konuyla ilgili olmayıp aslında oldukça geniş bir kullanım alanı söz konusudur. Bununla birlikte özellikle tam sayıların ve işlemlerin öğrenciler tarafından anlaşılmasında da oldukça etkin bir rolü vardır. Burada ilgili kavramlar özellikle sayının büyüklüğü ve yönü ilgili bağlamlarla daha anlamlı hale getirilebilmektedir. Tam sayılar kapsamında borç-alacak, kar-zarar, sıcak-soğuk, postacı hikayeleri, tarih yada zaman çizelgeleri veya deniz seviyesinin ya da herhangi bir binanın zemin katının üstü-altı gibi bağlamlar öne çıkmaktadır.Bu bağlamları sınıf içinde öğrencinin seviyesi, öğretmenin konu ile ilgili hedefleri gibi faktörler çerçevesinde daha da arttırmak mümkündür. Bununla birlikte bağlamların tam sayıların öğretim sürecinde yukarıda bahsedilen temsil türlerinden daha önce verilmesi gereğini öğretimin temel ilkelerinden biri olarak hatırlatmakta fayda vardır. Bir başka ifadeyle tam sayılarla ilgili temel kavramları ve bu sayılarla işlemleri tanıma veya konuya giriş aşamalarında bağlamlar öncelikle dikkate alınmalı ve kullanılmalıdır. Öğrencilerin yeni edinecekleri bu kavramları günlük yaşam deneyimleri ve daha önceki bilgileriyle ilişkilendirebilmeleri bu noktadaki en önemli gerekçe olarak karşımıza çıkmaktadır.Bununla birlikte bu bağlamların kullanım sürecinde dikkat edilmesi gerekli bazı noktalar söz konusudur.

Bu süreçte günlük yaşamda tam sayılara hangi durumlarda ihtiyaç duyulduğuna yönelik uygulamalara öncelikle ve özellikle önem verilmelidir. Bir başka ifadeyle tam sayılarla ilgili kavramların ilk karşılaşma sürecindeki bağlamların seçimi ve kullanımında, günlük yaşamda bu sayıların kullanımına yönelik ihtiyaca dönük uygulamalara yer verilmelidir. Öğrencilerin daha önceden bilgi sahibi oldukları konulardan biri olan doğal sayılar ile ilk kez karşılaşacakları tam sayıların günlük yaşamdaki kullanım alanları arasındaki farklılıklara özellikle değinmek gerekir. Örneğin ağırlık veya uzunluk ölçüleri gibi durumlar ile sıcaklık değerleri veya alacak-borç veya sıcaklık gibi durumların sayısal olarak ifade edilmeleri arasındaki farklılıklara bu noktada yer verilebilir. ‘Kasaptan aldığımız etin kilosu 32 TL’dir’ ile ‘Gece hava sıcaklığı sıfırın altında 5°C olarak ölçülmüştür’ gibi günlük yaşam durumlarının sayısal olarak ifadeleri arasındaki farklılıklar üzerinde durmak gerekir. Bununla birlikte öğrencilere bu noktadaki farklılıkların temel olarak başlangıç noktasından kaynaklandığı sezdirilmelidir.
Tam sayıların ve tam sayılarla işlemlerin anlamları da bu süreçte öne çıkarılması gerekli hususlar arasındadır. Toplama-çıkarma işlemlerinin birleştirme, parça-parça-bütün, ayırma ve karşılaştırma anlamları çarpma ve bölme işleminin ise eş gruplar ve karşılaştırma gibi anlamları bu noktada öne çıkmaktadır. Olkun ve Toluk (2003) anlam çeşitliliğini yansıtan bağlamlara yer vermenin kavram bilgisi ve problem çözme becerisinin gelişimi için gerekli olduğuna dikkat çekmektedir. Konu ile ilgili kavramsal temel oluşturma ve problem çözme, akıl yürütme gibi becerilerin geliştirme aşamalarında kavramların farklı anlamlarına dönük uygulamalara ağırlık verilmesi gerekmektedir.‘Arkadaşıma 20 TL borcum vardı. Bugün 15 TL daha borç aldığımda arkadaşıma borcum ne kadar olur?’,‘Dün 35 TL kar ettikten sonra bugün 20 TL zarar eden kişinin iki gün sonundaki kar-zarar durumu nedir?’, ‘Salih arkadaşına olan 45 TL borcunun 15 TL’sini öderse geriye ne kadar borcu kalır?’ , ‘Ankara’daki hava sıcaklığı İstanbul’dan 5 °C daha düşüktür. İstanbul da hava sıcaklığı sıfırın üzerinde 10 °C ise Ankara’daki sıcaklık değeri nedir?’ şeklindeki bağlamların her biri toplama-çıkarma işlemlerinin yukarıda sözü edilen farklı anlamlarına yönelik örnekler olarak verilebilir. Çarpma ve bölme işlemlerine yönelik bağlamlarda da benzer şekilde bu işlemlerin farklı anlamlarına dikkat etmek gerekir. Bu ve benzeri bağlamları sınıfta kullanırken yalnızca ilgili bağlamlara karşılık gelen işlemler ve çözümleri üzerine odaklanmayıp aynı zamanda işlemlerin farklı anlamları üzerinde de durulması kavram bilgisinin geliştirilmesine önemli katkılar sağlayabilecektir.

Son olarak bağlamların yazılı yada sözel ifadelerin de bir noktaya dikkat çekmek gerekir. Yukarıda bahsedildiği gibi herhangi bir tam sayı hem çokluk hem de zıtlık gibi iki ayrı kavram içerdiğinden bu tam sayıya karşılık gelen günlük yaşam durumunun yazılı yada sözel ifadesinde bu iki kavrama da ayrı ayrı vurgu yapılmasına dikkat etmek gerekmektedir. Bu bağlamda, +5 pozitif tam sayısı için ‘bugün sıcaklık +5 °C olarak ölçülmüştür’ ifadesi yerine ‘bugün sıcaklık sıfırın 5 °C üzerinde ölçülmüştür’ veya -7 negatif tam sayısı için ‘denizde -7 metre aşağıdan seyreden denizaltı’ yerine ‘deniz seviyesinden 7 metre aşağıda seyreden denizaltı’ ifadeleri tam sayıyı karşılık gelen ilgili bağlamın daha doğru bir şekilde ifade edilmesine örnek olarak verilebilir.Yukarıda da ifade edilmeye çalışıldığı gibi -5 negatif tam sayısının‘eksi 5’, ‘5 in toplamaya göre tersi’, ‘5’in negatifi’, ‘ 5’in -1 ile çarpımı’ gibi farklı yorumlamaları söz konusudur. Öğretmenin konunun öğretim sürecinde bu gibi örneklerdeki gibi farklı ifadeleri nerede ve nasıl kullanacağı oldukça önem arz etmektedir. Çünkü kavram yanılgılarının temel kaynaklarından birinin de ilgili kavramlara yönelik öğretmenlerin kullandıkları dil olduğu bilinmektedir. Bu noktada ilgili bağlamlardaki yazılı yada sözlü ifadelendirmelerin öğrencilerin tam sayılarla ilgili kavram yanılgıları üzerinde etkisinin olacağı hususu göz ardı edilmemelidir.


Kaynaklar

Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. (2010). A problem solving approach to mathematics for elementary school teachers (10th ed.), Redding: Addison-Wesley.
Çemen, P. B. (1993). Adding and subtracting integers on the number line. Arithmetic Teacher, 40(7), pp. 388–389.
Kumar, R. S., Subramaniam, K., & Naik, S. (2017). Teachers’ construction of meanings of signed quantities and integer operation, Journal of Mathematics Teacher Education,20(6), pp. 557–590.
Kutlu, S. N. ve Kutlu, B.(1990).Modern Temel Matematik (Soyut Matematiğe Giriş), Fil Yayınevi, İstanbul.
Olkun, S. ve Toluk, Z. (2003). İlköğretimde etkinlik temelli matematik öğretimi. Ankara: Anı Yayıncılık, Başak Matbaacılık.
Teppo, A., & van den Heuvel-Panhuizen, M. (2014). Visual representations as objects of analysis: the number line as an example. ZDM, 46(1), pp. 45-58.
Van de Walle, J.A. Karp, K.S. ve Bay-Williams, J.M. (2012). İlkokul ve ortaokul matematiği: Gelişimsel yaklaşımla öğretim. (Çev. Editörü: Soner Durmuş). Ankara: Nobel Yayın Dağıtım. 7. Basımdan Çeviri.
Vlassis, J. (2008). The role of mathematical symbols in the development of number conceptualization: Thecase of the minus sign,Philosophical Psychology, 21(4), pp. 555–570

Örnek Sayı

  • İlişkisel Düşünme Nedir ve Nasıl Geliştirilir? 
    Nilüfer Yavuzsoy Köse Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesi, Eskişehir Ayhan Kızıltoprak Milli Eğitim Bakanlığı, Eskişehir “Gerçekten evrenin sırrını arıyorsanız, benim yaptığım
  • Özel Eğitimde Matematik
    Dr.Öğr.Üyesi. Elif AÇIL Hatay Mustafa KEMAL Üniversitesi Ülkemizde matematik öğrencilerden velilere öğretmenlerden yöneticilere ve hatta politikacılara kadar toplumun hemen her
  • Orantısal Akıl Yürütme Becerisi Nedir, Nasıl Geliştirilir?
    Dr. Mutlu Pişkin TUNÇ Bülent Ecevit Üniversitesi Ereğli eğitim Fakültesi Öğretim Üyesi This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. Öğrencilerin, orantısal ilişkilerle ve rasyonel sayılarla ilgili
  • Sayı Hissi Nedir?
    Sare ŞENGÜL Sayı hissi nedir? Müfredatta çok duyduğumuz bir kavram değil sanırım. Biz sayıları bilmiyor muyuz? ki bir de histen
  • Gelişimsel Diskalkuliye Sahip Çocuklara Matematik Öğretimi
    Dr. Öğr.Üyesi Yılmaz Mutlu Muş Alpaslan Üniversitesi Prof.Dr.Sinan Olkun Uluslararası Final Üniversitesi Gelişimsel Diskalkuli (developmentaldyscalculia)matematiğe özgü güçlükleri ifade etmek amacıyla
  • Matematik Öğretiminde Öğrencinin Sesine (Düşüncesine) Yer Açma
    Prof. Dr. Zülbiye TOLUK UÇAR Bolu Abant İzzet Baysal Üniversitesi Araş. Gör. Figen BOZKUŞ Kocaeli Üniversitesi Öğrenciler sınıfa bir takım
  • Tam Sayıların Öğretiminde Temsiller
    Doç. Dr. Ali Sabri İPEK Recep Tayyip Erdoğan ÜniversitesiEğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Tam sayının tanımı Tam sayılar,
  • Drama Yöntemi İle Etkili Matematik Öğretimi
    Nazmiye AKYAZI Matematik Öğretmeni Günümüz eğitim anlayışı öğrencinin bilgi düzeyinin değerlendirilmesinden ziyade, bilginin birey için anlamlı ve yaşantısal hale getirilmesi
  • 1

Sayılar 2020

Apsistek

Vizetek

ISSN: 2687-3575

Email: apsistekdergi@gmail.com

0312 482 00 11

0544 482 0017

Harbiye Mah. Hürriyet Cadd. 56/A Çankaya/ANKARA