Örnek Sayı

Matematik Öğretiminde Öğrencinin Sesine (Düşüncesine) Yer Açma

Prof. Dr. Zülbiye TOLUK UÇAR

Bolu Abant İzzet Baysal Üniversitesi

                                                                                                                                                                                                                     

     Araş. Gör. Figen BOZKUŞ

                                                                                                                                                                                                                   Kocaeli Üniversitesi


Öğrenciler sınıfa bir takım matematik bilgileriyle gelmektedir. Bu bilgiler öğrencilerin günlük hayattaki deneyimleri sonucu gelişen sezgisel bilgi ya da informal bilgi olmakla beraber, öğretim sürecinde öğrendikleri formal bilgiler de olabilir. Bu bilgiler aynı zamanda öğrencinin o ana kadar kendine özgü geliştirdiği düşünce birikimi olarak da ifade edilebilir. Bu düşünceler öğrencilerin matematiği öğrenmesinde yardımcı olabileceği gibi engel de teşkil edebilir. Öğretim sürecinde öğrencilere düşüncelerini kullanabilecek fırsatların verilmesi, öğrencilerin kendi düşüncelerini sorgulaması ve kendi matematiksel kavramlarını anlamlı ilişkiler üzerine kurabilmesi açısından değerlidir. Nitekim, matematik eğitimi üzerine yapılan akademik çalışmalar ve reform çalışmaları, etkili öğretim için öğretmenlerin öğrencilerin düşüncelerini dinlemeleri ve öğretim süreçlerinde kullanmalarının gerekliliğini vurgulamıştır (Ball, 1997; NCTM, 1991, 2000). Öğretim süreçlerinin öğrenci düşüncesi üzerine inşa edilmesi öğrenciler için zengin bir öğrenme ortamı sunmaktadır ve anlamlı öğrenmeyi desteklemektedir (Clarke, 2008; Sowder 2007). Dolayısıyla son yıllarda öğrenci düşüncesinin önemini vurgulayan çalışmalar yapılmaktadır (Doerr, 2006; Empson & Jacobs, 2008). 

Bu çalışmalarla birlikte, öğrenci düşüncesini öğretim sürecinin merkezine yerleştiren vebir profesyonel gelişim modeli olan öğretmen farkındalığı (teacher noticing) olarak yeni bir kavram ortaya çıkmıştır. Öğretmen farkındalığı, öğretmenlerin öğretim sürecinde önemli durumları fark edebilme becerileri olarak tanımlanırken, öğrenci düşüncesi bağlamında ise öğretmenlerin öğrenci düşüncelerine dikkat edebilmesini ve öğretimsel kararlarında kullanabilmesini içermektedir (Jacobs, Lamb & Philipp, 2010; Van Es & Sherin, 2002). Öğretmen farkındalığı bağlamında yapılan çalışmalar, öğretmenlerin öğrenci düşüncelerine nasıl dikkat ettiği ve öğretimsel kararlarında ne kadar yer verdiğini incelerken, aynı zamanda öğretim süreçlerini öğrenci düşünceleri üzerine inşa etmede araştırmacılara ve öğretmenlere yol göstermektedir (Choy, 2014; Fernandez, Llinares & Valls, 2012; Mcduffie, Foote, Bolson, Turne, Aguirre, Bartell, Drake & Land, 2014). Öğretmenlere öğretim süreçlerinde öğrencilerinin düşüncelerini hangi ölçüde dikkate aldıkları sorulduğunda pek çok öğretmen öğrencilerine konuşmaları için fırsat verdiğini ve onları dinlediklerini, dolayısıyla öğrencilerinin aktif olduğu bir öğretim yaptıklarını savunabilirler. Ancak yapılan çalışmalar, her hangi bir sınıf ortamında pek çok öğretmenin öğrencilerine yönelttikleri soruların cevaplarını, öğrencilerin matematiksel fikirlerini anlamak amacıyla değil, derste anlatılanları ya da gösterilen matematiksel bilgileri aynen tekrar edebildiklerini görmek için dinlediklerini ortaya koymaktadır (Black, Harrison, Lee, Marshall& Wiliam, 2004; Kawanaka & Stigler, 1999). Bu durum öğretmenlerin, öğrenci öğrenmesine daha sınırlı bir pencereden baktığını ve öğrencilerin matematiksel düşüncelerini göz ardı ettiğini akla getirmektedir. Bu nedenle, bu çalışmada ilgili literatürden yararlanarak öğretim süreçlerinde öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmaya yönelik öğretmenlerin neler yapabileceğine dair öneriler, sınıf için uygulamalarından örneklerle anlatılarak, öğretmenlere fikir oluşturulması sağlanacaktır.

Öğretmenlerin öğrencilerin ne gibi düşüncelere sahip olduğunu bilmesi ve bu düşünceler ile yeni kavramlar arasında bir köprü kurabilmesi etkili öğretimin en temel özelliklerindendir. Bu nedenle öğretmenin öğrenci düşüncesini temel alarakbir öğretim süreci planlaması önerilmektedir. Öğretmenlerin, öğretim süreçlerini öğrenci düşünceleri üzerine inşa edebilmesi için öncelikle bu düşünceleri ortaya çıkarması gerekmektedir. Ancak öğrenci düşüncelerinin ortaya çıkarılması ve öğretimin bu düşünceler doğrultusunda şekillendirilmesi öğretmenler için zor olabilmektedir. Öğretmenler, bazen öğrencilerimin düşüncelerini nasıl ortaya çıkarabilirim ya da bütün öğrencilerimin düşüncelerini tek tek sormam gerekir mi gibi sorular sorabilmektedir. Bu yönde yapılan bazı araştırmalar, öğretmenlerin öğrenci düşüncelerini nasıl ortaya çıkarabileceğine yönelik öğretmenlere rehber olabilecek yöntemler sunmaktadır. Bu araştırmalardan bir tanesi, Carpenter, Fennema ve Franke (1996), tarafından yapılmış ve araştırmanın sonucundan Bilişsel Temelli Öğretim (Cognitively Guided Instruction) olarak isimlendirdikleri bir model geliştirilmiştir. Bu model, boylamsal bir çalışmanın sonucu olup, öğretmenlerin öğrenci düşünceleri hakkında bilgi edinmeleri ve bu bilgileri öğretimsel uygulamalarında nasıl kullanabileceğine dair öğretmenlere ve biz araştırmacılara yol gösteren gerçek sınıf ortamlarından örnekler sunmaktadır. Bir başka model ise Fraivillig, Murphy ve Fuson (1999) tarafından geliştirilen, Çocukların Düşünmesini Geliştirme Modeli (Advancing Chidren’s Thinking [ACT]) olup, bu model ise sınıf içi uygulamalarında öğrencilerin matematiksel düşüncelerinin nasıl geliştirileceğine dair öğretimsel uygulama örnekleri sunarak, öğretmenlerin neler yapabileceğine yönelik bir pedagojik çerçeve sunmaktadır. On sekiz başarılı öğretmenin derslerinin 5 yıl süreyle gözlemlenmesiyle geliştirilen ACT modeli, bu öğretmenlerin öğrencilerinin matematiksel düşüncelerini derslerinde kullanırken geliştirdikleri stratejileri ortaya çıkarmıştır. Bu bağlamda öğretmenlerin derslerini karakterize eden birbirinden ayrı, fakat aynı zamanda kesişen 3 temel bileşen ortaya çıkmıştır. Bu bileşenler, öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarma, destekleme ve geliştirme olarak tanımlanmıştır. Bu çalışmada ise ACT modelinin öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarma bileşenine ilişkin öneriler ve Bilişsel Temelli Öğretim modelinin ise sınıf içi uygulamalarındaki örneklerinden yararlanılarak, öğretmenlerin öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için neler yapabileceklerine dair bilgiler verilecektir.

Öğrenci Düşüncesini Ortaya Çıkarma

Matematik öğretimini öğrencilerin matematiksel düşüncelerinin üzerine inşa etmenin ilk adımı bu düşünceleri ortaya çıkarmaktır. Fraivillig ve arkadaşları (1999), başarılı öğretmenlerin öğrencilerinin matematiksel düşüncelerini ortaya çıkarırken kullandıkları stratejileri belirlemiştir. Bu stratejileri inceleyelim.

Bir probleme yönelik olabildiğince birçok çözüm yolu ortaya çıkarma: Verilen bir problemin çözümüne ilişkin, öğrencilerden birden fazla çözüm yolu üretmeleri istenebilir. Ardından, öğrencilerden kendi çözüm yollarını açıklamaları istenerek, kullandıkları stratejiler vedüşünceleri üzerine sınıf tartışması başlatılabilir. Öğrenci düşüncelerine dayalı yapılacak sınıf tartışması, öğrencilerin kendi matematiksel düşünceleri arasında iletişim kurmak ve düşüncelerini anlamlı hale getirmek için de iyi bir fırsattır. Öğretmenler burada önce genel sorularla başlayabilir ardından spesifik sorularla öğrencilerden düşüncelerini detaylı ve ayrıntılı bir şekilde anlatması istenilebilir. Genel sorular olarak şu sorular sorulabilir:

  • Bu problemin çözümünde farklı bir yol kullanan var mı?
  • Ahmet’in çözümünden farklı bir çözüm yolu kullanan var mı?
  • Bu sorunun çözümünde farklı bir yol kullanılabilir mi?

Şeklindeki sorular öğrencileri kendi düşüncelerini paylaşmaları konusunda cesaretlendirebilir.

Öğrenci çözüm yolunu açıklarken, açıklamasının sonuna kadar bekleme ve dinlenme: Öğrenci çözümünü açıklarken,öğretmen öğrenciyi dinlemeli ve müdahale etmeden açıklamasını bitirmesi beklenmelidir. Benzer şekilde, sınıfın da arkadaşlarının çözümünü dinlemeleri beklenmelidir. Öğrenciye yeterince zaman vermek ve açıklamalarını dinlemek, öğrenciye düşünerek cevap vermenin, hızlı bir cevaptan daha değerli olduğunu hissettirecektir. Ayrıca öğretmen, öğrencilerin düşünceleri doğru olmasa bile, bu yöndeki çabalarını takdir ederek düşüncelerinin değerli olduğunu hissettirmelidir.
Öğrencileri düşüncelerini/cevaplarını ayrıntılı bir şekilde açıklamaya teşvik etme: Öğrenciler düşüncelerini bazen daha yüzeysel açıklayabilirler. Öğretmen öğrencinin ne demek istediğini anlasa bile diğer öğrenciler için anlatılmak istenen açık olmayabilir. Bu durumlarda öğretmenin öğrencilerin düşüncelerini daha detaylı açıklaması için ek sorular sorması gerekebilir ya da öğrencinin daha iyi ifade etmesine yardımcı olabilir.

Öğrencilerin açıklamaları kullanılarak dersin içeriğini şekillendirme: Öğrencilerin açıklamaları sınıf tartışması başlatmak için iyi bir referans noktasıdır. Öğretmen, öğrencilerin sorularını, çözüm yollarına ilişkin açıklamalarına ve düşüncelerine bağlı olarak dersin içeriğini biçimlendirebilir. Örneğin; bir problem çözümüne yönelik öğrencilerden gelen farklı çözümler tahtaya liste halinde yazılabilir ve böylece bütün çözümler diğer öğrenciler tarafından görülebilir. Ders bu çözümler üzerinden öğretmenin soruları ile devam edebilir. Böylece, üzerine çalışılan kavram ya da matematiksel düşünce derinleştirilebilir.

Öğrencilerin hatalarına ve problem çözme çabalarına yönelik tutumlarına olumlu yaklaşma: Öğretmen öğrencilerin kendi düşüncelerini rahat bir şekilde ifade edebilmesi için hatalara açık olmalıdır ve bu yöndeki çabalarını takdir etmelidir.Öğretmenler problem sonrasında öğrencilere sordukları sorular ile “en iyi” cevabı ya da istediği cevabı bulmaya çalışırlar;ancak bu yaklaşım öğrencilerin düşüncelerini açıklamaları yönünde de motivasyonlarını kırabilir. Burada önemli olan öğrencinin doğru çözümü bulması ya da doğru cevabı bulması değil öğrencinin matematiksel düşüncesidir. Öğrencilerin hataları “öğrenme fırsatları” olarak görülmelidir. Dolayısıyla öğrencilere, hata yapsalar bile çabalarının değerli olduğu hissettirilmelidir.

Öğrencileri birlikte problem çözmeye teşvik etme: Öğretmen öğrencileri birlikte çalışmaya teşvik etmelidir. Öğrencilerin grup halinde çalışması, öğrencilerin katılım açısından daha istekli olmasını hem de grup olarak daha zengin düşünceler üretmeleri için öğrencileri cesaretlendirecektir. Böylece öğrenciler kendi düşüncelerini paylaşmak için daha istekli olabilir.

Hangi öğrencilerin konuşmak için fırsata ihtiyacı olduğuna veya hangi stratejilerin tartışılması gerektiğine karar verme: Öğretmen ders boyunca sürekli öğrencileri gözlemlemelidir. Özellikle öğretmen, öğrencilere problem çözümü için zaman verdiğinde, öğretmen sınıf içinde gezinebilir ve öğrencilerin neler yaptığını takip edebilir. Bazen öğrenciler desteğe ihtiyacı olduğunu sözel olarak söylemeyebilir, bu durumu öğretmenin fark etmesi ve gereken desteği vermesi gerekebilir. Diğer yandan, öğretmen sınıf içinde gezinirken güzel bir düşünce fark ettiğinde (öğrenci çözümü, ileri düzey düşünce ya da strateji) o öğrenciyi konuşmaya teşvik ederek, paylaşılan düşünce üzerine sınıf içi tartışması oluşturabilir. Böylece konuşmak isteyen öğrencilere de fırsat verebilir. Bazen de öğrencilerin sıklıkla düştükleri yanılgıları belirleyebilir ve bunları tartışmaya açabilir.

Öğretmenler, öğretim süreçlerinde öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için yukarıda belirtilen stratejileri kullanabilirler.Peki bu stratejileri dikkate alırken, öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için ne gibi sorular sorulabilir? Bu sorunun cevabı için, her daim kullanılabilecek bir soru listesi ya da en iyi sorulardan bahsedilemez. Öyle ki öğrencilerden gelen cevaplara göre sorulan sorular değişebilir. Ancak, “Nasıl çözdüğünü bana anlatabilir misin?” sorusu öğrenci düşüncelerinin temel alındığı öğretim süreçlerinin önemli bir bileşenidir. Bu soru farklı şekillerde de ifade edilebileceği gibi bu sorunun temelinde öğrencinin matematiksel düşüncesini açıklaması fikri vurgulanmaktadır. Bu sorunun yanı sıra öğrenci düşüncesini anlama yolunda, daha spesifik olarak öğrencilere “Ne yaptın?”,“Neden yaptın?”, “Buna nasıl karar verdin?”ya da “Bana stratejini anlatabilir misin?” gibi öğrencinin problem çözümündeki stratejisini açıklaması için farklı sorular üretilebilir. Öğrenciye yöneltilen spesifik sorular öğrencilerin kendi stratejilerindeki detaylar üzerine düşünmesi için onları desteklemektedir. Daha somut olarak ifade etmek gerekirse, bu yazının devamından gerçek sınıf ortamından elde edilmiş, öğrenci cevaplarının ortaya çıkarılmasını amaçlayan öğretmen – öğrenci dialoglarından kesitler paylaşılacaktır.


Öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarmaya yönelik sınıf içi örnek durumlar

Çalışmanın bu bölümünde, Carpenter, Fennema, Franke, Levi ve Empson (2015), tarafından Bilişsel Temelli Öğretim modelinin uygulandığı, ilkokulun farklı sınıf seviyelerinden elde edilmiş örnek durumlar paylaşılacaktır. Bu durumlar, farklı öğrencilerin problem çözümlerini açıklamalarının ardından öğretmenin takip soruları ile düşüncelerini ortaya çıkarması, farklı iki öğrencinin doğru ve yanlış cevabına ilişkin öğretmen sorgulaması ve bir öğrencinin yazılı çözümü üzerinden öğrenci düşüncesini ortaya çıkarmayı içeren dört farklı örnekten oluşmaktadır. 

Öğrencinin problemi çözmesinin ardından takip sorularıyla öğrenci düşüncesini ortaya çıkarma:

Öğrenciler verilen problemleri çözdükten sonra,kullandıkları stratejileri ayrıntılı bir şekilde açıklamaları için bazen tek bir soru yeterli olmayabilir. Bu durumda, ek sorular ile öğrenciye ne yaptığını anlatma fırsatı verilmelidir. Bu yönde aşağıda, bir birinci sınıf öğrencisinin (Elif) çözümü üzerine öğretmeni ile gelişen dialog verilmiştir

Problem: Ahmet’in 8 tane kum kovası vardır. Abisi, Ahmet’e 11 tane daha kova getirmiştir. Son durumda Ahmet’in kaç kovası olmuştur?
Öğretmen: Elif, problemi nasıl çözdün?
Elif: Ben 8 ve 11’i saydım.
Öğretmen: Anladım, 8 ve 11’i saydın. Peki 8’i nasıl saydığını anlatabilir misin?
Elif: Küplerimi kullandım ve önce 1,2,3,4,5,6,7,8 saydım ve daha sonra 1, 2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11 saydım ve 19 elde ettim.
Öğretmen: Sen önce 8 küp saydın ve daha sonra 11 küp saydın. 19’u elde etmek için küpleri nasıl kullandın?
Elif: 8 küp saydım (eliyle küpleri göstererek 8’e kadar sayıyor), 9, 10,11,12,13,14,15,16, 17, 18, 19 (kenara ayırdığı 11 küpü işaret ederek sayıyor).

Yukarıda verilen dialogda görüldüğü üzere öğretmen takip soruları ile Elif’in problemi çözerken nasıl bir yol izlediğini anlamaya çalışıyor. Öğretmen sorduğu sorular ile,Elif’in 8 ve 11’i toplarken, 8 sayısını ya da 11 sayısını nasıl düşündüğünü ve bu sayıları nasıl topladığına dair adım adım düşünce süreçlerini öğreniyor.Burada, öğretmen Elif’in üzerine sayma stratejisini kullandığını fark ediyor. Nitekim Elif aynı cevabı bulabilecek farklı stratejiler de kullanabilirdi.Öğretmen burada sorduğu takip soruları ile Elif’in kendi çözüm sürecinin detaylarını açıklaması için fırsat verirken aynı zaman da sınıftaki diğer öğrencilerin de stratejisindeki her aşamayı duymasını sağlamıştır.

Bir başka örnekte ise bir 5.sınıf öğrencisinin çözümü ele alınmıştır. Burada öğretmen kesirlerle ilgili bir soru sormuş ve bir öğrenciden problem çözümünü sınıfla paylaşmasını istemiştir. Öğretmen öğrencinin her adımda ne yaptığını ve ne düşündüğünü ortaya koymak için sorular sormuştur. Öğretmenle gelişen dialog şöyledir.

Problem: Şule öğretmenin sınıfındaki her öğrenci bir dönem boyunca, bir paket kalemin ¾’ünü kullanmaktadır. Sınıfta 12 öğrenci olduğuna göre, toplam kaç paket kaleme ihtiyaç vardır?

Öğretmen: Esra, problemi nasıl çözdün? Çözümünü bizimle paylaşmak ister misin?
Esra: İlk önce, iki öğrencinin bir paketteki kalemlerin ½’sini kullandığını buldum. Çünkü ¾ve ¾‘ü toplayınca 1 tam ½eder.
Öğretmen: Peki söylediğinin matematik cümlesi şu şekilde ifade edilebilir mi?
Esra: Evet.
Öğretmen: İki tane ¾‘lük kısmın 1 tam ½olduğunu söyledin. İşlemlerinin devamında ne yaptın?
Esra: Daha sonra bulduğum sayıyı iki ile çarptım. Yani, 2 öğrenci 1 tam½paket ise, 4 öğrenci 3 paket kalem kullanır. Bu nedenle 4 öğrenciye karşılık 3 paket kalem yazdım.
Öğretmen: Peki söylediğin ifadenin matematik cümlesini yazabilir miyiz?
Esra: Evet. Biraz önce yazdığınız eşitliğe benziyor ama bu sefer elimizde 4 tane¾’lük kısım 3’e eşit.
Öğretmen: Eşitliği tahtada bize yazabilir misin?
Esra: Tabi ki. 2 x ¾=1 tam ½ 4x¾=3
Öğretmen: Peki devamında nasıl ilerledin?
Esra: Bu durumda 8 öğrenci de 6 paket kalem kullanır.
Öğretmen: Yani her öğrenci kaç tane kalem alacak?
Esra: Paketin 3/4'ü kadar.
Öğretmen: Yani her öğrenci paketteki kalemlerin ¾'ünü kullanırsa, 8 öğrenci 6 paket kalem kullanır?
Esra: Evet doğru.
Öğretmen: Peki bu eşitliği gösterebilir misin?
Esra: Emin değilim.
Merve: Ben yazabilirim. (Tahtaya gelir ve eşitliği yazar)
Öğretmen: Merve’nin yazdığı eşitlik hakkında ne düşünüyorsun?
Esra: Muhtemelen doğru.
Öğretmen: Peki daha sonra ne yaptın?
Esra: Burada tekrar 2 ile çarptım. Yani 8 öğrenci 6 paket kalem kullanıyorsa, 16 öğrenci 12 paket kalem kullanır. Ama çok öğrenci oldu, biraz kafam karıştı.
Öğretmen: Söylediğini şu şekilde yazabilir miyiz?
Esra: Evet ama çok öğrenci oldu. 8 öğrenci 6 paket kalem kullanır. Oradan devam edersek 12 öğrenci olması için 4 öğrenciye ihtiyacım var. Daha önce 4 öğrencinin 3 paket kalem kullandığını bulmuştum, toplarsam 12 öğrenci 9 paket kalem kullanır.
Öğretmen: Yani şöyle yazabilir miyiz? (4x¾=3, 8x¾=6)
Esra: Evet. ¾’lük 4 grup ve ¾'lük 8 grup olarak düşündüm ve ¾'lük12 grup oluyor. Toplamda 9 paket kaleme ihtiyacımız var.

Yukarıdaki dialogda görüldüğü üzere, öğretmen öğrenciden çözüm sürecinde nasıl düşündüğünü ve neler yaptığını adım adım anlatmasını isterken, öğrenciye de kendi yaptıkları üzerine düşünme fırsatı vermektedir. Böylece öğrenci kendi bilgilerini sorgulayarak anlamasını derinleştirirken, sınıf arkadaşlarının da anlamasına katkı sağlamaktadır. Bunun yanı sıra öğretmen öğrencinin adımlarını matematik cümlesi şeklinde tahtaya yazarak öğrencilerin informal düşünmeleri ile formal matematiksel bilgi arasında bir köprü kurmaktadır.

Burada takip sorularının öneminin bir kez daha vurgulanmasına ihtiyaç vardır. Çünkü öğrencilerin açıklamaları ardından sorulan takip soruları, sadece öğretmenin ve diğer öğrencilerin, bir öğrencinin düşüncesine ilişkin daha fazla bilgi edinmesini sağlamaz aynı zamanda o öğrencinin de kendi düşünceleri üzerine yoğunlaşmasını sağlar. Böylece düşünceleri arasında ilişkilendirme yapmasını ve matematiksel anlamasını destekler.Bu nedenle takip sorularının hem öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarılması da hem de geliştirilmesinde önemli bir rolü olduğunu söyleyebiliriz.
Öğrencinin çözüm yolu tamamlanmamış ya da yanlış olduğunda öğrenci düşüncesini ortaya çıkarma:

Öğrencilerin çözümlerini ya da stratejilerini açıklamaları gözlemlendiğinde, öğrencilerin bazen kendi stratejilerinden ya da çözümlerinden emin olmadıkları görülebilir. Bu durumda öğrenciler daha çekingen davranabilirler. Nitekim öğrencilerin düşüncelerini ya da fikirlerini paylaşmamalarının arkasındaki nedenlerinden biri de düşüncesinin yanlış olma ihtimalidir. Dolayısıyla öğretmenler böyle bir durumda, öğrencileri düşüncelerini paylaşmaları için cesaretlendirmelidir.Örnek olarak aşağıda, Ahmet ile öğretmeni arasında geçen dialog verilmiştir.

Problem: Hasan’ın 30 tane bilyesi vardı. Annesi, Hasan’a 23 bilye daha verdi. Hasan’ın toplamda kaç bilyesi vardır?
Öğretmen öğrencilerin çözümlerini incelerken, Ahmet’in problem çözümünü tamamladığını ve cevabını 33 bulduğunu gözlemlemiştir. Ahmet’in cevabı doğru değildir ve öğretmen öğrencinin düşüncesini anlamak için bazı sorular sormuştur. Ahmet’in çözümü Şekil. 1’de verilmiştir.

Şekil 1. Ahmet’in çözümü
Öğretmen: (Öğrencinin çözümünü işaret ederek) Burada ne düşündüğü söyleyebilir misin?
Ahmet: (Öğrenci daire içine aldığı sayıları göstererek) 10.
Öğretmen: Evet 10.
Ahmet: 10 artı, 10 artı, 10 artı, 3 artı eşittir 33 eder.
Öğretmen: 33 bilye elde ettin. Peki soruyu tekrar birlikte okuyalım mı? (Öğretmen ve Ahmet sesli olarak soruyu tekrar okur. )
Öğretmen: Öncelikle bana Hasan’ın 30 bilyesini gösterebilir misin?
Ahmet: (Ahmet daire içine aldığı 3 tane 10’luk grubu gösteriyor.)
Öğretmen: Hadi bunları sayalım.
Ahmet: (Öğretmenle birlikte). 10, 20 ve 30.
Öğretmen: Peki, annesi kaç bilye daha vermişti?
Ahmet: Bunlar. (Onluk blokların altına çizdiği 3 yuvarlık şekli gösteriyor.)
Öğretmen: Annesinin verdiği bilyelerinin sayısını söyleyebilir misin?
Ahmet: 23.
Öğretmen: Peki, senin çözümüne 23 bilye nerede olduğunu gösterebilir misin?
Ahmet: (Öğrenci yine 3 şekli gösteriyor.)
Öğretmen: Bunları benim için sayabilir misin?...
Ahmet: 10, 20, 21 (Öğrenci gösterdiği iki şekli 10’luk olarak sayıyor ve diğer şekli 1’lik olarak sayıyor.)

Yukarıda verilen dialogda öğrencinin çözümü anlaşılır değil ve öğretmen öğrencinin bu çözümünün arkasındaki düşüncelerinin ne olduğunu anlamaya çalışıyor. Bunun için öğretmen öğrencinin adım adım ne yaptığını anlatmasını istiyor. Öğrenci çözümünü anlatırken, öğretmen öğrenciyi dinliyor ve stratejisine yönelik açıklamalarını gözlemliyor. Öğrencinin verdiği cevap doğrultusunda spesifik sorular yönelterek, cevabını daha ayrıntılı açıklamasını istiyor. Öğretmen öğrencinin ne düşündüğünü daha iyi anlamak için problemi tekrar birlikte okuyorlar ve yaptığı işlemlerde problemde verilenleri nasıl ilişkilendirdiğini sorguluyor. Yaptığı sorgulama sonucunda öğretmen, Ahmet’in çizdiği şekilleri bazen 10’luk olarak aldığı bazen de 1’lik olarak saydığını fark ediyor. Burada dikkat çekilen nokta, öğrencinin çözümü ya da düşüncesi doğru olmayabilir ancak onların neyi nasıl düşündüğünü anlamak için onlara kendilerini açıklama fırsatı verilmelidir ve öğretmenler bu yönde öğrencileri cesaretlendirmelidir.

Öğrencilerin yazılı cevaplarından öğrenci düşüncesini ortaya çıkarma:
Öğrencilerin defterlerine yazdıkları çözümleri kullanılarak yukarıda bahsedilen stratejilere benzer yaklaşımlarla öğrencilerin düşünceleri ortaya çıkarılabilir. Burada, ikinci sınıf düzeyinde farklı iki öğrencinin doğru ve yanlış çözümlerinden yola çıkarak öğretmenin öğrenci düşüncelerini anlamak için sorduğu sorular ve bunu takiben aralarında gelişen diaolog sunulacaktır.
Problem: Melis’in 28 tane oyun kartı vardır. Annesi, Melis’e doğum günün de biraz daha kart vermiştir ve Melis’in 61 tane oyun kartı olmuştur. Annesi Melis’e kaç tane oyun kartı vermiştir?
Bu soruya ilişkin, Deniz’in çözümü ve öğretmenle arasında geçen dialog şöyledir;

Şekil 2: Deniz’in çözümü
Öğretmen: Deniz, oyun kartlarının sayısını bulmak için ne yaptığını anlatabilir misin?
Deniz: Annesi 33 tane oyun kartı vermiştir.
Öğretmen: Anladım. Burada (çözümü göstererek) 28, 38, 48 yazdığını görüyorum. Bunların anlamı nedir?
Deniz: Saymaya 28’ten başladım.
Öğretmen: Peki, buraya yazdığın 10 sayıları nedir?
Deniz: (28’i göstererek), 28’den 38’e 10 var, 38’den 48’e 10 var, 48’den 58’e 10 var ve daha sonra ben 59,60,61 şeklinde saydım ve 3 elde ettim.
Öğretmen: 3’ü nasıl bulduğunu anladım. Ancak 30 sayısı nereden geldi?
Deniz: 10, 10 ve 10 topladım 30 olur.
Öğretmen: Güzel.
Deniz’in cevabından farklı olarak, aynı soruyu Engin de çözmüştür (bknz: Şekil 3)ancak Engin’in cevabı doğru değildir. Bunun üzerine öğretmen Engin’in çözümünü inceleyerek, ne yaptığını anlamaya çalışmıştır.

Şekil 3: Engin’in çözümü
Öğretmen: (Cevaptaki 28’i göstererek) Buraya 28 yazdığını görüyorum. Burada 28 sayısı ile ne yaptığını anlatabilir misin?
Engin: 28’den saymaya başladım.
Öğretmen: 28’in üzerine saymaya başladın. Peki nasıl saydığını anlatabilir misin?
Engin: 29,30,31 …..61 (defterindeki çizgileri göstererek sayıyor).
Öğretmen: Anladım. Peki 34’ü nasıl elde ettin?
Engin: (çizgileri ve sayıları işaret ederek) 5,10,15,20,25,30,31,32,33.. (düşünüyor) aaa 33 tane.
Öğretmen: Yani annesi 33 oyun kartı verdi. Çizgileri grupladığını görüyorum, peki kaç tane 5’lik grup oluşturdun?
Engin: (5’lik grupları sayarak) 1, 2, 3 , 4, 6. 6.
Öğretmen: 6 tane 5’lik grup. Peki 10’luk kaç grup vardır?
Engin: (2 tane 5’lik grubu işaret ederek), 1 (diğer 2 tane 5’lik grubu işaret ederek) 2, (diğer 2 tane 5’lik grubu işaret ederek) 3.

Burada, öğretmen Engin’den, yaptığı işlemleri vestratejisini sözel olarak anlatmasını istiyor. Engin kendi çözümü anlatırken aslında kaçırdığı noktayı fark ediyor ve doğru sonuca söylüyor. Engin, çözüm sürecinde kendisi için daha kolay olan 5’lik gruplar oluşturmuştur ama aynı zamanda öğretmenin soruları ile 10’lu gruplar halinde de sayabildiğini göstermiştir. Öğretmen sorduğu sorular ile Engin’e stratejisini yansıtmasını sağlarken, 10’lu gruplar üzerine de düşünmesini sağlayarak kendi düşüncesini geliştirmesi için bir fırsat vermiştir. Bu örnek durumda da olduğu gibi, eğer öğretmen sadece öğrencinin bulmuş olduğu sayısal cevaba odaklanmış olsaydı öğrencinin matematiksel anlamasındaki zenginliği kaybetmiş olacaktı. Oysaki öğrenci beşerli ve onarlı gruplamayı anlamış olmasına rağmen sayma işleminde hata yaptığı için yanlış sonuç bulmuştur. 

Yukarıdaki her iki örneğe de bakıldığında, öğretmen öğrencilerin matematiksel açıklamalarını dinlemiş ve öğrencilerin stratejilerindeki detayları ortaya çıkarmak için öğrenciden duyduklarını ve gördüklerini kullanarak takip soruları sormuştur. Öğretmenin sorduğu sorular, öğrencilerin yapmış olduğu ek açıklamalarla kullandıkları stratejilerin daha iyi anlaşılmasını sağlarken, bazen de stratejilerin altında yatan matematiksel düşüncelerin anlaşılmasına yardımcı olmuştur.Diğer yandan, öğrencilerin yazılı çözümlerini, sözel olarak da ifade etmeye çalışması, öğrencilerin matematiksel düşünceleri sentezlemesi ve ilişkilendirmesi yolunda onlara fırsat vermektedir. Dolayısıyla bu şekilde öğrenci düşüncesini anlamaya çalışmak sadece öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için değil aynı zamanda öğrencilerin matematiksel anlamalarını desteklemek adına da değerlidir.

Diğer yandan, bazı durumlarda öğretmen takip soruları sormasına rağmen ilk başta öğrenci cevap vermede isteksiz olabilir. Öğrencinin cevap vermemesi, öğrencinin herhangi bir düşüncesinin ya da stratejisi olmadığı anlamına gelmez. Bazen öğrenci öğretmenin ne duymak istediğini bilmeyebilir ve yanlış cevap verme korkusuyla endişelenebilir. Eğer öğrenci soru sorulduğunda cevap vermiyorsa, öğrenci düşüncesini ortaya çıkarmak için öğretmen farklı bir yaklaşım geliştirebilir. Peki bu yaklaşımlar neler olabilir? Örneğin, öğrenci cevabını yazdıysa ya da somut bir materyal kullandıysa, öğrenciden ne yaptığını göstermesi istenilebilir. Ya da bir diğer seçenek olarak, öğrenciye, problemi çözerken ya da diğer öğrencilere problemi çözerken izlediği adımlarda neler yaptığı sorulabilir. Örnek olarak, öğrenciye şöyle sorular yöneltilebilir:

  • Burada 28 yazdığını görüyorum. 28 sayısını kullanarak mı başladın?
  • Neden 28 sayısını kullanarak başladın?
  • Problemi çözerken ilk olarak ne yaptın? Ya da ne düşündün?
  • Sayarken herhangi bir şey kullandın mı? Küp, kalem gibi.. Kullandıysan bunlarla ne yaptığını anlatabilir misin?

Bazı durumlarda ise öğrenciler, kullandıkları stratejileri yeterince açıklayamayabilirler. Bir başka ifadeyle, öğrencilerin sözel ifade etme becerileri matematiksel açıklamalarını destekleyecek şekilde yeterince gelişmemiş olabilir ya da öğrenciler geliştirdikleri çözüm yolunu tam anlamamış olabilirler ve çözümünü matematiksel olarak açıklayamayabilirler. Bu durumda, öğrencileri daha zor stratejilere yönlendirmek mantıklı olabilir. Çünkü basit stratejilerin açıklamalarını yapmak daha kolay bir iştir. Dolayısıyla öğrencilerin sözel ifade etme ve matematiksel dili kullanma becerilerini geliştirmek adına onları zorlayan stratejilere yönlendirme ve bu stratejileri anlamlandırmaları sağlanabilir.

Öğrencilerin matematiksel düşüncelerini desteklemek için öğrenci düşüncesini ortaya çıkarma
Öğrencilerin matematiksel düşüncelerini desteklemek ve geliştirmek için, önce öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarmalıdır. Nitekim öğretmenlerin, öğretim sürecini öğrenci düşünceleri üzerine inşa edebilmesi için öğrencilerin ne düşündüğünü bilmesi gerekir. Ancak bu üç beceri kendi içinde hiyerarşik ilerlerken aynı zamanda iç içe geçmiş bir bütün olarak düşünülmelidir. Örneğin, öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarma süreci, öğretmenin öğrencilere düşüncelerini açıklamak için sorduğu sorular ile başlar. Bu süreçte öğretmenin ilgili öğrenciye sorduğu sorular diğer öğrencilerin de kendilerini sorgulamasına yönlendirirken, öğrencinin söylediği açıklamalar ise başka öğrenci için yeni bir düşünce ya da yani bir bilgi olabilir. Bu durumda, diğer öğrenciler yeni öğrendiği düşünceyi kendi düşüncesini geliştirmek için kullanabilirler ve kendi matematiksel anlamalarıını oluşturabilirler. Dolayısıyla, öğretmenin öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için gösterdiği çaba aynı zamanda öğrencilerin düşüncelerini geliştirme adına önemli bir fırsattır.

Özetle söylemek gerekirse, verilen örneklerle öğretmenlerin öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için ne gibi sorular sorabileceğine ve ne gibi yöntemler izleyebileceğine dair fikir oluşturulmaya çalışılmıştır. Carpenter ve arkadaşları (2015),öğretmenlerin öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için belirli ilkelerden bahsetmiştir ve bu ilkeler öğretmenlere de öğretim süreçlerinde yol gösterecek niteliktedir. Çalışmanın buraya kadar anlatılan kısmı bu ilkelerle özetlenebilir ve öğretmenler öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmada bu ilkeleri takip edebilir:

  • Öğrencileri matematiksel düşüncelerini, stratejilerini ya da çözümlerini paylaşmaya cesaretlendirme,
  • Her öğrencinin öğretmenle ya da arkadaşlarıyla düşüncelerini paylaşması için bir yol bulma ve sorgulama yapma,
  • Öğrencilerin ne paylaştığına ya da ne yaptığına dair büyük resmi görmek için takip soruları sorma,
  • Öğrencileri stratejilerindeki ayrıntılar üzerine düşünmeleri için destekleme,
  • Öğrencilere doğru, doğru olmayan ya da tamamlanmamış stratejiler sunma ve üzerine sorular sorma,
  • Öğrencilerin kendi stratejilerini ya da yeni bir strateji kullanmada hazır olduklarını görmek için öğrencileri gözlemleme,
  • Dinleme ve gözlem yapma,
  • Kendi düşüncelerinizi ya da çözüm yolunuzu öğrencilere dayatmaktan kaçınma.

Kaynakça

Ball, D. L. (1997). Developing mathematics reform: What don’t we know about teacher learning—but would make good working hypotheses? In S. Friel & G. Bright (Eds.), Reflecting on our work: NSF teacher enhancement in K-6 mathematics (pp. 77-111). Lanham, MD: University Press of America.
Black, P., Harrison, C., Lee, C., Marshall, B., & Wiliam, D. (2004). Working inside the black box: Assessment for learning in the classroom. Phi delta kappan, 86(1), 8-21.
Carpenter, T.P., Fennema. E.,& Franke, M.L. (1996). Cognitively Guided instruction: A knowledge base for reformn in primnary mathematics instruction. ElementarySchool Journal, 97(1), 1-20.
Carpenter, T.P., Fennema, E., Franke, M. L., Levi, L., & Empson, S. B. (2015). Children’s mathematics: Cognitively guided instruction (2nd ed.). Portsmouth, NH: Heinemann.
Choy, B. H. (2014). Noticing Critical Incidents in a Mathematics Classroom. Mathematics Education Research Group of Australasia.
Clarke, B. (2008). A framework of growth points as a powerful teacher development tool. In D. Tirosh & T. Wood (Eds.), The international handbook of mathematics teacher education (Vol. 2, Tools and processes in mathematics teacher education, pp. 235–256). Rotterdam: Sense Publishers.
Doerr, H. M. (2006). Examining the tasks of teaching when using students' mathematical thinking. Educational Studies in Mathematics, 62(1), 3-24.
Empson, S. B.,& Jacobs, V. R. (2008). Learning to listen to children’s mathematics. In
D. Tirosh & T. Wood (Eds.), Tools and processes in mathematics teacher education (pp. 257-281). Rotterdam: Sense.
Fernández, C., Llinares, S., & Valls, J. (2012). Learning to notice students’ mathematical thinking through on-line discussions. ZDM, 44(6), 747-759.
Fraivillig, J. L., Murphy, L. A., & Fuson, K. C. (1999). Advancing children's mathematical thinking in Everyday Mathematics classrooms. Journal for Research in Mathematics Education, 30, 148–170.
Jacobs, V. R.,Lamb, L. L. C. & Philipp, R. A. (2010). Professional noticing of children’smathematicalthinking. Journal for Research in MathematicsEducation, 41(2), 169–202.
Kawanaka, T., & Stigler, J. W. (1999). Teachers’ use of questions in eighth-grade mathematics classrooms in Germany, Japan, and the United States. Mathematical Thinking and Learning, 1, 255–278.
McDuffie, A. R., Foote, M. Q., Bolson, C., Turner, E. E., Aguirre, J. M., Bartell, T. G., ... & Land, T. (2014). Using video analysis to support prospective K-8 teachers’ noticing of students’ multiple mathematical knowledge bases. Journal of Mathematics Teacher Education, 17(3), 245-270.
National Council of Teachers of Mathematics (1991). Professional standards for teaching
mathematics. Reston, VA: Author,
National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author.
Sowder, J. (2007). The mathematics education and development of teachers. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 157–223). Charlotte, NC: Information Age Publishing & National Council of Teachers of Mathematics.
Van Es, E. A. & Sherin, M. G. (2002). Learning tonotice: Scaffolding new teachers
interpretations of classroom interactions. Journal of Technology and Teacher Education,
10(4), 571-595.

 

 

 

Örnek Sayı

  • İlişkisel Düşünme Nedir ve Nasıl Geliştirilir? 
    Nilüfer Yavuzsoy Köse Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesi, Eskişehir Ayhan Kızıltoprak Milli Eğitim Bakanlığı, Eskişehir “Gerçekten evrenin sırrını arıyorsanız, benim yaptığım
  • Özel Eğitimde Matematik
    Dr.Öğr.Üyesi. Elif AÇIL Hatay Mustafa KEMAL Üniversitesi Ülkemizde matematik öğrencilerden velilere öğretmenlerden yöneticilere ve hatta politikacılara kadar toplumun hemen her
  • Orantısal Akıl Yürütme Becerisi Nedir, Nasıl Geliştirilir?
    Dr. Mutlu Pişkin TUNÇ Bülent Ecevit Üniversitesi Ereğli eğitim Fakültesi Öğretim Üyesi This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. Öğrencilerin, orantısal ilişkilerle ve rasyonel sayılarla ilgili
  • Sayı Hissi Nedir?
    Sare ŞENGÜL Sayı hissi nedir? Müfredatta çok duyduğumuz bir kavram değil sanırım. Biz sayıları bilmiyor muyuz? ki bir de histen
  • Gelişimsel Diskalkuliye Sahip Çocuklara Matematik Öğretimi
    Dr. Öğr.Üyesi Yılmaz Mutlu Muş Alpaslan Üniversitesi Prof.Dr.Sinan Olkun Uluslararası Final Üniversitesi Gelişimsel Diskalkuli (developmentaldyscalculia)matematiğe özgü güçlükleri ifade etmek amacıyla
  • Matematik Öğretiminde Öğrencinin Sesine (Düşüncesine) Yer Açma
    Prof. Dr. Zülbiye TOLUK UÇAR Bolu Abant İzzet Baysal Üniversitesi Araş. Gör. Figen BOZKUŞ Kocaeli Üniversitesi Öğrenciler sınıfa bir takım
  • Tam Sayıların Öğretiminde Temsiller
    Doç. Dr. Ali Sabri İPEK Recep Tayyip Erdoğan ÜniversitesiEğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Tam sayının tanımı Tam sayılar,
  • Drama Yöntemi İle Etkili Matematik Öğretimi
    Nazmiye AKYAZI Matematik Öğretmeni Günümüz eğitim anlayışı öğrencinin bilgi düzeyinin değerlendirilmesinden ziyade, bilginin birey için anlamlı ve yaşantısal hale getirilmesi
  • 1

Sayılar 2020

Apsistek

Vizetek

ISSN: 2687-3575

Email: apsistekdergi@gmail.com

0312 482 00 11

0544 482 0017

Harbiye Mah. Hürriyet Cadd. 56/A Çankaya/ANKARA