Örnek Sayı

Orantısal Akıl Yürütme Becerisi Nedir, Nasıl Geliştirilir?

Dr. Mutlu Pişkin TUNÇ

Bülent Ecevit Üniversitesi Ereğli eğitim Fakültesi Öğretim Üyesi

This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.


Öğrencilerin, orantısal ilişkilerle ve rasyonel sayılarla ilgili bilgi ve anlamalarının çoğunlukla işlemsel bilgiye dayandığı ve oran, orantı kavramlarıyla ilgili kavram yanılgılarının olduğu görülmüştür. Orantısal akıl yürütme becerisiyle ilgili yürütülen pek çok çalışmada, öğrencilerin oran, orantı kavramlarını anlamlandırmada ve özellikle bu kavramların yer aldığı problemleri çözmede zorluk çektiği görülmüştür. Aynı şekilde, öğretmenlerle yapılan çalışmalar da öğretmenlerin orantısal akıl yürütme becerilerinin istenilen düzeyde olmadığını ve öğrencilerle benzer yanılgılara ve zorluklara sahip olduklarını göstermektedir. Peki, orantısal akıl yürütme becerisi nedir? Cramer, Post ve Currier (1993) orantısal akıl yürütme becerisini, orantı yoluyla matematiksel olarak şekillendirilen bir durumu tanıyabilme, orantılı olmayan bir durumdan ayırt edebilme, bu durumu sembolik olarak ifade edebilme ve orantı problemlerini çözebilme becerisi olarak tanımlamaktadır. Orantısal akıl yürütme becerisi, ilköğretim düzeyindeki birçok matematiksel kavramın öğrenilmesinde mihenk taşı iken; lise matematik müfredatındaki ileri düzey matematik kavramlarının öğrenilmesi için gerekli alt yapıyı oluşturan bir köşe taşıdır (Lamon, 2012; Lesh, Post ve Behr, 1988). Öğrencilerin orantısal akıl yürütme becerilerini geliştirmek ilköğretim 5-8. sınıf matematik müfredatının en önemli amaçlarından biri olarak görülmektedir (Van de Walle, Karp ve Bay-Williams, 2010).

Orantısal akıl yürütme, matematiksel akıl yürütmenin bir türüdür ve günlük hayattaki pek çok durum orantısal kurallara göre işler ve çalışır (Cramer ve Post, 1993). Baykul (2002)’a göre günlük hayatta sıkça karşılaşılan faiz, yüzde, indirim, komisyon hesaplamalarında ve yol problemlerinin çözümünde orantısal akıl yürütme becerisinden sıkça yararlanılır. Genel bir ifade ile orantısal akıl yürütmeyi, Flowers (1998) orantıyı anlama ve kullanabilme yeteneği olarak tanımlamaktadır. Ortaokul düzeyine geldiklerinde öğrencilerin ağırlıklı toplama kullanarak yaptıkları akıl yürütmelerinin yerini göreceli orantısal değişimi kavramayı gerektiren çarpımsal akıl yürütme alır (Baxter ve Junker, 2001). Orantısal düşünebilme becerisi, oran ve orantı kavramını da içeren kapsamlı bir matematiksel düşünme sistemidir. Bu sebeple, oran ve orantı kavramlarını derinlemesine anlamak için orantısal akıl yürütme becerisine sahip olmak gerekmektedir. Bu akıl yürütme becerisi, hem nitel hem de nicel süreçleri birlikte barındırır (Lesh ve diğ., 1988). Diğer bir deyişle, orantısal akıl yürütme bir problem durumundaki nicelikler arasındaki orantıyı kurmak, bilinçsizce kuralları uygulamak ve mekanik işlemler yapmanın ötesindedir (Hoffer, 1988; Lamon, 2007). Bu nedenle, orantı problemlerinde doğru sonuca ulaşmak orantısal düşünme yeteneğine sahip olunduğunu göstermez, çünkü orantısal ilişkiler fark edilmeden, ezbere algoritmik işlemler yapılarak da (içler-dışlar çarpımı gibi) doğru sonuca ulaşılabilir (Lamon, 2007). Oysa orantısal akıl yürütme, nicelikler arasındaki ilişkilerin bilinçli bir şekilde analiz edilmesini ve muhakemesini içeren zihinsel bir süreçtir (Lamon, 2007, 2012).

Literatür incelendiğinde, orantısal düşünme yeteneğini değerlendirmek için üç farklı problem tipinin tanımlandığı görülmüştür (Cramer ve diğ., 1993; Heller, Post, Behr ve Lesh, 1990; Post, Behr ve Lesh 1988). Bu problem tipleri; bilinmeyen değeri bulma, sayısal karşılaştırma ve niteliksel akıl yürütme problemleridir. Bilinmeyen değeri bulma problem tipinde amaç; a/b = c/d gibi bir orantıda üç çokluk verilmişken dördüncü çokluğun bulunmasıdır (Lamon, 2007). Tipik bir bilinmeyen değeri bulma problemi şöyledir; “300 km yolu 4 saatte alan bir otomobil, aynı hızla giderse 750 km’lik yolu kaç saatte alır?” Bu problemde, verilenler; gidilen yol (300 km) ve seyahat süresi (4 saat) ile bilinmeyen bir sürede gidilen yoldur (750 km), istenen ise bilinmeyen süredir. Bilinmeyen değer problemleri okul matematiğinde en sık karşımıza çıkan problem tipidir. Problemin çözümünde, içler-dışlar çarpımı algoritmasıyla nicelikler arasındaki oranlar fark edilmeden de doğru sonuca ulaşılabilir. 

Bir diğer problem tipi ise sayısal karşılaştırma problemleridir. Bir sayısal karşılaştırma probleminde, iki oranın eşitliğini gösteren orantıdaki bütün değerler (a, b, c ve d) verilir, a/b ve c/d oranlarının karşılaştırılması istenir (Lamon, 2007). Bu problemlerde amaç; iki tane oran verilmişken, sayısal bir cevaba ihtiyaç duymadan oranların karşılaştırılmasıdır. Noelting (1980)’in “Portakal Suyu Problemi” tipik bir sayısal karşılaştırma sorusudur. Bu problemde, portakal suyu konsantresi ve suyla yapılan iki farklı karışımın içindeki portakal suyu konsantresi ve su miktarları verilir ve karışımların tatlarının karşılaştırılması istenir. Karışımlardan hangisinin portakal tadının daha fazla olduğunu bulmak için her bir karışımdaki portakal suyu konsantresi miktarının su miktarına oranlarının karşılaştırılması gerekir. Sayısal karşılaştırma problemlerine bir başka örnek ise şu problem olabilir; “A arabası 180 km yolu 3 saatte gidiyor, B arabası 400 km yolu 7 saatte gidiyorsa hangi araba daha hızlıdır?” Bu problemde hangi arabanın daha hızlı gittiğini bulmak için arabaların gittikleri kilometrelerin saatlere oranlarının karşılaştırılması beklenmektedir. Okul matematiğinde nadiren karşımıza çıkan bu problem tipinin çözümünde içler-dışlar çarpımı gibi ezbere algoritmaların kullanılamadığı aşikârdır. Bu problemlerin çözümü için nicelikler arasındaki oranların fark edilmesi ve karşılaştırılması gerekmektedir. 

Diğer problem tipi ise niteliksel akıl yürütme problemleridir. Bu problem tipinde sayısal değerler verilmez ve amaç; sayısal değerlere bağlı olmaksızın karşılaştırmalar yapmaktır. Bu problem tipinin niteliksel tahmin ve niteliksel karşılaştırma olmak üzere iki çeşidi vardır (Cramer ve diğ., 1993). Örneğin; “Bir koşu parkurunda Esra, Gonca’dan daha kısa zamanda daha çok tur koşmuştur. Hangisi daha hızlı koşucudur?” (Cramer ve diğ., 1993, s.166) tipik bir niteliksel karşılaştırma problemi iken “Bir koşu parkurunda Deniz dün koştuğu süreden daha uzun sürede daha az tur koştuysa, Deniz’in koşma hızı dünküne göre (a) daha hızlıdır, (b) daha yavaştır, (c) tamamen aynıdır (d) verilen bilgiler yetersizdir.” (Cramer ve diğ., 1993, s.166) problemi tipik bir niteliksel tahmin problemidir. İki problem tipi de sayısal değerlere bağlı olmadan veya sayısal değerleri kullanmadan nitel karşılaştırmalar yapmayı gerektirir (Ben-Chaim, Keret ve Ilany, 2012). Okul matematiğinde pek karşımıza çıkmayan bu problem tipinin çözümünde de içler-dışlar çarpımı gibi ezbere algoritmalar kullanılamaz hatta problem sayısal veriler içermediği için nicel karşılaştırmalar da yapılamaz. Yukarıda orantısal akıl yürütme becerisinin hem nitel hem de nicel süreçleri birlikte barındırdığından bahsedilmişti. Bu problem tipinin çözümünde öğrencilerden nitel karşılaştırmalar yapmaları beklenir.

Araştırmalar orantı problemlerinin çözümünde öğrencilerin kullandığı pek çok çözüm stratejisinin olduğunu göstermiştir (Baroody ve Coslick, 1998; Ben-Chaim ve diğ., 2012; Cramer ve Post, 1993; Cramer ve diğ., 1993; Kaput ve West, 1994; Lamon, 2007, 2012). Bazı araştırmacılar (Baroody ve Coslick, 1998; Kaput ve West, 1994) bu stratejileri formal ve informal stratejiler olarak ikiye ayırmıştır. Formal stratejiler cebir kurallarının kullanıldığı cebirsel stratejiler (içler-dışlar çarpımı gibi) iken informal stratejiler çoğunlukla orantısal ilişkilerin kullanıldığı stratejilerdir (birim oran, değişim çarpanı gibi). Cramer ve Post (1993), öğrencilerin orantı problemlerini çözmede informal stratejileri kullanmaya yönlendirilmesini önermişlerdir; hatta formal stratejilerin, öğrencilerin informal stratejileri tam olarak kullanıp içselleştirdiğine emin olununcaya kadar öğretilmemesi gerektiğine vurgu yapmışlardır. Fakat, pek çok çalışmada, öğrencilerin ve hatta öğretmenlerin orantı problemlerini çözerken anlamdan yoksun ve ezbere işlemlerden ibaret olan içler-dışlar çarpımı stratejisini kullandıkları görülmüştür (Ben-Chaim ve diğ., 2012; Cramer ve Post, 1993). Hiç şüphesiz ki, en çok kullanılan formal strateji içler-dışlar çarpımı stratejisidir. Bu stratejide, içler-dışlar çarpımı algoritmasıyla orantı kurulur ve eşitlik çözülür (Van de Walle ve diğ., 2010). En çok kullanılan informal stratejiler ise arttırma, değişim çarpanı, birim oran ve kesir stratejisidir (Cramer ve Post, 1993). Bazı stratejiler orantı problemlerinde yanlış cevap bulunmasına sebep olabilir. En çok kullanılan yanlış çözüm stratejisi ise çarpımsal ilişkiler yerine toplamsal ilişkilerin kullanıldığı toplamsal ilişki stratejisidir (Ben-Chaim ve diğ., 2012; Karplus, Pulos ve Stage, 1983). Yanlış toplamsal strateji, bir oranı oluşturan çokluklardan belli sayıları çıkararak veya çokluklara belli sayılar ekleyerek orantı sorularını çözmeye çalışmayı içerir. Oysa bir orantıda çarpımsal ilişkiler vardır toplamsal ilişkilerin kullanılması yanlış çözüme götürecektir. Araştırmalar öğrencilerin orantı problemlerinde genellikle tam sayı olmayan oranlar olduğunda yanlış toplamsal stratejileri kullandıklarını ortaya çıkarmıştır (Karplus ve diğ.,1983, Cramer ve diğ., 1993; Post, Cramer, Behr ve diğ., 1993; Singh, 2000; Sowder, Philipp ve diğ., 1998).

Farklı informal stratejilerden bahsetmek bu aşamada yararlı olacaktır. En çok kullanılan informal stratejilerden birisi arttırma stratejisidir. Bu stratejide, verilen bir oran ona eşit olan diğer oranlara toplama yoluyla genişletilir (Lamon, 2007, 2012). Örneğin, “İki kalem 15 TL ediyorsa altı kalem için kaç TL ödememiz gerekir?” şeklindeki bir problem arttırma stratejisiyle aşağıdaki gibi çözülür:

İki kalem 15 TL

İki kalem daha alırsam 2+2=4 kalem için 15+15=30 TL

İki kalem daha alırsam 4+2=6 kalem için 30+15=45 TL ödemem gerekir.

Arttırma stratejisinde asıl amaç istenen çokluğa ulaşmak için toplamsal örüntüleri kullanmaktır (Lamon, 2007). Her ne kadar işe yarayan ve sezgisel bir strateji olsa da, ek bilgi olmadan orantısal akıl yürütmenin kullanıldığı bir süreç olarak kabul edilemez. Nedeni; stratejiyi kullananların nicelikler arasındaki çarpımsal ilişkileri dikkate almamasıdır. Diğer bir deyişle, arttırma stratejisinde göreceli değişimi kavramayı gerektiren çarpımsal akıl yürütme kullanılmaz.

Değişim çarpanı stratejisi sık kullanılan diğer informal stratejilerdendir. Bu strateji “Kaç kere?” sorusunu sorar. Daha iyi açıklayabilmek için şu problemi göz önünde bulunduralım; “Beş silginin fiyatı 6 TL ise 10 silginin fiyatı kaç TL dir?” Değişim çarpanı stratejisi her bir durumda alınan silgi miktarını çarpımsal olarak karşılaştırmayı gerektirir. Yani ikinci durumda ilk durumun kaç katı silgi alınmıştır öncelikle bu bulunur. Daha sonra bu değişim çarpanıyla ilk durumda ödenen para çarpılır ve ikinci durumda ödenmesi gereken para bulunur. Diğer bir deyişle, bu problemde değişim çarpanı stratejisini kullanan öğrencinin eğer silgi miktarı iki katına çıkmışsa, ödenen para da iki katına çıkar diyerek akıl yürütmesi gerekir. Bu stratejideki asıl amaç çokluklar arasındaki çarpımsal ilişkileri bulmaktır. 

Bir diğer informal strateji birim oran stratejisidir. Bu strateji “Bir için kaç?” sorusunu sorar. Bu stratejideki asıl amaç; çokluklar arasındaki çarpımsal ilişkileri bölme yoluyla bulmaktır (Cramer ve diğ., 1993). Örneğin; “Serkan ve Toprak hafta sonunda, bisiklet sürmek için uygun bir ormanda, bisiklete binmeye karar vermişlerdir. Serkan 20 dakikada 4 kilometre yol gitmişse, aynı hızla giden Toprak 12 kilometre yolu kaç dakikada gider?” şeklindeki bir problemi göz önünde bulunduralım. Bu problemdeki oranlar iki farklı şekilde gösterilebilir:

İlk oran için birim oran; 1 kilometreye 5 dakikadır çünkü 20 dakikanın 4 kilometreye bölümü 5’dir. Benzer şekilde, ikinci oran için birim oran; 1 dakikada 1/5 kilometredir çünkü 4 kilometrenin 20 dakikaya bölümü 1/5’dir. Bu problemin çözümü için aşağıdaki gibi ilk birim oranın kullanılması daha uygun olacaktır:

Eğer problemde Toprak’ın 60 dakikada kaç kilometre yol aldığını sormuş olsaydı ikinci birim oranı (1 dakikada 1/5 kilometre) kullanmak daha uygun olacaktı. Bir orantı problemini çözmek için hangi birim oranın kullanılmasının işlemleri kolaylaştıracağına karar verebilmek gerekir. Fakat öğrencilerin genellikle orantı problemlerini çözerken hangi birim oranı kullanacaklarına karar vermekte zorlandıkları görülmüştür (Cramer ve diğ., 1993).

Kesir stratejisi diğer adıyla denk kesir stratejisi de informal stratejilerdendir. Bu stratejide niceliklerin birimleri ihmal edilip kesirlerde denklik kavramı kullanılır (Cramer ve Post, 1993). Yani aşağıda gösterildiği gibi, oranlar kesir gibi ele alınır ve çarpma veya bölme işlemleriyle denk kesirler bulunmaya çalışılır.  

Bu stratejide asıl amaç; verilen oranı kesir gibi ele alıp, bu kesre denk bilinmeyen değeri içeren kesri bulmaktır. Benzer şekilde, yukarıdaki örnekte de verilen kesir (3/60), n/n formunda bire eşit olan belli bir kesirle (2/2) çarpılıp payı 6 olan denk kesir bulunmuştur (6/120). Bu sayede bilinmeyen değer olan 120 bulunabilmiştir (Bart, Post, Behr ve Lesh, 1994). 

Öncesinde bahsedildiği gibi, öğrenciler orantı problemlerini çözerken orantısal ilişkilerin kullanıldığı informal stratejileri de kullanmaya yönlendirilmedir. Anlamdan yoksun, ezbere işlem yapmanın önüne geçebilmek için hızlı çözüme ulaştıran formal stratejiler, informal stratejiler farklı tip sorular için kullanılıp içselleştirildikten sonra öğrencilere öğretilmelidir. Önce formal stratejileri verip, öğrencilerimizden, problemin cevabını orantısal ilişkileri fark bile etmeden iki oranı eşitleyip bulmasını istersek, onların orantısal akıl yürütme becerilerini yeterince geliştiremeyiz. Lamon (2012)’a göre, orantısal akıl yürütebilen bir birey orantı veya ters orantı içeren durumlarda çokluklar arasındaki ilişkileri anlar ve içler-dışlar çarpımı algoritmasını kimsenin öğretmesine gerek kalmadan kendisi keşfeder. 

Öğrencilere oran ve orantı konusunu ezbere algoritmalarla öğreterek onların orantılı durumları orantılı olmayan durumlardan ayırt edebilme yetilerini de ellerinden almış oluruz. Çarpımsal ilişkileri anlamak ve çarpımsal ilişkileri toplamsal ilişkilerden ayırt etmek orantısal akıl yürütmenin en önemli parçasıdır. Orantısal akıl yürütebilen bir birey orantısal durumları orantısal olmayan durumlardan ayırt edebilir. Diğer bir deyişle, orantısal akıl yürütebilen öğrenciler bir problem durumunda, çoklukların aralarındaki ilişkinin çarpımsal mı, toplamsal mı yoksa başka bir ilişki mi olduğunu belirleyebilirler. Lakin yapılan çalışmalar, orantılı olma durumunun aşırı genellendiğini göstermiştir. Yani birçok öğrenci, öğretmen ve öğretmen adayının, orantılı ilişkiler içermeyen durumları orantılı ilişkiler varmış gibi algılayıp, bu durumlarda orantı problemlerinin çözümünde kullandıkları stratejileri kullanma eğiliminde oldukları görülmüştür (Atabaş, 2014; Cramer ve diğ., 1993; Pişkin-Tunç, 2016; Van Dooren ve diğ., 2005; Van Dooren ve diğ., 2003). Bu durumun en önemli nedenlerinden biri öğretmenler tarafından klasikleşmiş şu tanımdır; “İki çokluktan biri artarken diğeri de artarsa bu iki çokluk doğru orantılı olur. İki çokluktan biri azalırken diğeri artıyorsa bu iki çokluk ters orantılı olur.” Aynı oranda artıp azalmaya vurgu yapılmadığı için bu tip eksik tanımlar öğrencilerin zihninde orantısal ilişkilerin yanlış algılanmasına sebep olmaktadır. Öyle ki; öğrenciler “Bir annenin yaşı 40, kızının yaşı ise 10’dür. Anne 60 yaşına geldiğinde kızı kaç yaşında olur?” şeklindeki bir problemin çözümü için içler-dışlar çarpımı yapıp 15 cevabını verebilirler. Oysa bu problem durumunda annenin yaşı ve kızının yaşı arasında çarpımsal değil toplamsal bir ilişki vardır. Anne 60 yaşına gelmişse aradan 20 yıl geçmiştir ve kızı 30 yaşında olacaktır. Fakat yukarıdaki klasikleşmiş eksik tanımı öğrenen öğrenci, annenin yaşı da artıyor, kızının yaşı da artıyor diye düşünüp aynı oranda bir atışın olmadığına dikkat etmeyebilir, bu da öğrencinin bu problem durumunda orantısal bir ilişki varmış gibi algılamasına sebep olabilir. Benzer şekilde Cramer ve arkadaşlarının (1993) 33 sınıf öğretmeni adayıyla yaptıkları bir çalışmada, öğretmen adaylarına şu problem yöneltilmiştir; “Bir koşu parkurunda koşan Aslı ve Nehir aynı hızda koşmaktadırlar. Aslı koşmaya Nehir’den önce başlamıştır. Aslı 9 tur koştuğunda Nehir 3 tur koşmuştur. Nehir 15 tur koştuğunda Aslı kaç tur koşmuş olur?” İlginç bir şekilde 33 öğretmen adayından 32’si, bu problemi orantı kurup içler-dışlar çarpımı yaparak şu şekilde çözmüşler: 9/3 = x/15; 3x = 135; x=45. Yani öğretmen adayları bu problemdeki çoklukların arasındaki ilişkinin toplamsal olduğunu fark edememişler ve çokluklar arasındaki ilişkinin çarpımsal olduğunu düşünüp içler-dışlar çarpımı yapmışlardır. Oysa problemin doğru çözümü Nehir’in koştuğu tur sayısına altı tur eklenerek bulunabilir (15+6=21). Bu problemdeki çokluklar arasındaki ilişki f(x)=ax+b (b0) formundaki fonksiyonla gösterilebilir. Bu ilişki doğrusal bir ilişkidir fakat orantısal değildir. Şüphesiz ki, orantısal akıl yürütebilen bireylerden, y=mx formundaki bir fonksiyonda y ile x değişkenleri arasındaki ilişkinin orantılı olduğunu; fakat y=mx+b formundaki bir fonksiyonda y ile x değişkenleri arasındaki ilişkinin orantılı olmadığını fark edebilmeleri beklenmektedir (Lamon, 2007). Fakat bunu fark etmek “doğrusal ilişkiler orantılıdır” yanılgısına sahip bireyler için zordur.  

Özetle, orantısal akıl yürütme becerisi, oran ve orantı kavramını da içeren kapsamlı bir matematiksel düşünme sürecidir. Öğrencilerinin orantısal akıl yürütme becerilerini geliştirmek isteyen öğretmenler, kavramsal derinliği göz ardı ederek doğrudan içler-dışlar çarpımı kurallarını kullanmaktan kaçınmalıdırlar. Bunun yerine, çokluklar arasındaki orantısal ilişkilerin öğrenciler tarafından fark edilip anlaşılmasını sağlayan informal stratejilerle başlanmalıdır. Ayrıca, öğrencilerden orantı problemlerini çözmek için farklı stratejiler kullanmaları ve bu stratejileri anlamlandırmaları istenmelidir. Bunun yanında, öğretmenlere öğrencilerinin orantısal durumları orantısal olmayan durumlardan ayırt edebilmelerini sağlayacak etkinlikler yapmaları önerilebilir. Diğer bir deyişle, öğretmenlerin orantılı ilişkilerden bahsederken orantısız ilişkilere (toplamsal, sabit gibi) de değinip öğrencilerinin bu konudaki kavram yanılgılarının oluşmasını engellemeleri beklenebilir. Yetişkin nüfusun yarısından çoğunun, orantısal akıl yürütebilenler olarak görülemeyeceğinin tahmin edildiği göz önünde bulundurulursa; sadece yaşın ilerlemesiyle orantısal akıl yürütme alışkanlığının ve becerisinin kazanılamayacağı bir gerçektir. Bunun farkında olan öğretmenlerden öncelikle kendi orantısal akıl yürütme becerilerini geliştirmeleri ve kavram yanılgılarını düzeltmeleri beklenmektedir. Unutmayalım ki, bir öğretmen bilmediğini öğretemez ve maalesef yanlış bildiğini de yanlış öğretir!


KAYNAKÇA

Atabaş, (2014). An examination of fifth and sixth grade students’ proportional reasoning. Unpublished master’s thesis, Boğaziçi University, İstanbul.
Ball, D. L. (1990). The mathematical understandings that prospective teachers bring to teacher education. The Elementary School Journal, 90(4), 449-466.
Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (1998). Fostering children's mathematical power: An investigative approach to K-8 mathematics instruction. New York: Lawrence Erlbaum. 
Bart, W., Post, T., Behr, M., Lesh, R. (1994). A diagnostic analysis of a proportional reasoning test item: An introduction to the properties of a semi-dense item. Focus on Learning Problems in Mathematics, 16(3), 1-11.
Baykul, Y. (2002). İlköğretimde Matematik Öğretimi: 6.-8. Sınıflar için. Pegem A. Yayıncılık, ISBN 975-6802-60-X, Ankara.
Baxter, G. & Junker, B. W. (2001). Designing developmental assessments: A case study in proportional reasoning. Paper presented at the Annual Meeting of the National Council of Measurement in Education, April 2001, Seattle, WA.
Ben-Chaim, D., Keret, Y., & Ilany, B-S. (2012). Ratio and proportion: Research and teaching in mathematics teachers’ education (pre- and in-service mathematics teachers of elementary and middle school classes). Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers. 
Cramer, K. & Post, T. (1993). Connecting research to teaching proportional reasoning. Mathematics teacher, 86(5), 404-407.
Cramer, K., Post, T., & Currier, S. (1993). Learning and Teaching Ratio and Proportion: Research Implications. In D. Owens (Ed.), Research Ideas For the Classroom (pp. 159-178). NY: Macmillan Publishing Company.
Heller, P., Post, T., Behr, M., & Lesh, R. (1990). Qualitative and numerical reasoning about fractions and rates by seventh and eighth grade students. Journal for Research in Mathematics Education, 21(5), 388-402.
Hoffer, A. (1988). Ratios and proportional thinking. In T. Post (Ed.),Teaching mathematics in grades K-8: Research based methods (pp. 285-313). Boston: Allyn & Bacon.
Lamon, S. (2007). Rational numbers and proportional reasoning: Toward a theoretical framework for research. In K. Lester Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 629–667). Charlotte, NC: Information Age Publishing.
Lamon, S. (2012). Teaching fractions and ratios for understanding: Essential content knowledge and instructional strategies for teachers (3rd ed.). Mahwah, NJ: Erlbaum.
Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1988). Proportional reasoning. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp. 93-118). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
Milli Eğitim Bakanlığı [MEB]. (2013). Ortaokul matematik dersi öğretim programı 5-8. sınıflar: Öğretim programı ve klavuzu. Ankara, Turkey: MNE.  
National Council of Teachers of Mathematics (2000). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.
Noelting, G. (1980) The development of proportional reasoning and the ratio concept. Part II - Problem structure at successive stages: Problem-solving strategies and the mechanism of adaptive restructuring. Educational Studies in Mathematics, 11(3), 331-363.
Kaput, J. J., & West, M. M. (1994). Missing-value proportional reasoning problems: Factors affecting informal reasoning patterns. In G. Harel & J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp. 235-287). Albany: State University of New York Press.
Karplus, R., Pulos, S., & Stage, E. K. (1983). Early adolescents' proportional reasoning on 'rate' problems. Educational Studies in Mathematics, 14(3), 219-233.
Pişkin-Tunç, M., (2016). Pre-service middle school mathematics teachers’ proportional reasoning before and after a practice-based instructional module. Unpublished doctoral thesis, Middle East Technical University, Ankara.
Post, T., Behr, M., & Lesh, R. (1988). Proportionality and the development of pre-algebra understandings. In A. Coxford & A. Shulte (Eds.) The Idea of Algebra K-12: Yearbook National Council of Teachers of Mathematics (pp. 78-90). Reston, VA: NCTM.
Post, T., Cramer, K., Behr, M., Lesh, R., & Harel, G. (1993). Curriculum implications of Research on the Learning, Teaching, and Assessing of Rational Number Concepts. In T. Carpenter, E. F& Harel, G. (In press). Designing instructionally relevant assessment reports. In T. Carpenter & E. Fennema (Eds.), Research on the Learning, Teaching, and Assessing of Rational Number Concepts. Lawrence Erlbaum and Associates.
Singh, P. (2000). Understanding the concepts of proportion and ratio constructed by two grade six students. Educational Studies in Mathematics, 43, 271-292. 
Sowder, J. T., Philipp, R. A., Armstrong, B. E., & Schappelle, B. P. (1998). Middle-grades teachers' mathematical knowledge and its relationship to instruction: A research monograph. Albany, NY: State University of New York Press. 
Tirosh, D. (2000). Enhancing prospective teachers' knowledge of children's conceptions: The case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 21(1), 5-25.
Van de Walle, J., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2010). Elementary and Middle School Mathematics Methods: Teaching Developmentally (7th edition). New York: Allyn and Bacon.
Van Dooren, W., De Bock, D., Depaepe, F., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2003). The illusion of linearity: Expanding the evidence towards probabilistic reasoning. Educational Studies in Mathematics, 53, 113–138.
Van Dooren, W., De Bock, D., Hessels, A., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2005). Not everything is proportional: Effects of age and problem type on propensities for overgeneralization. Cognition and Instruction, 23, 57–86.

 

Örnek Sayı

  • İlişkisel Düşünme Nedir ve Nasıl Geliştirilir? 
    Nilüfer Yavuzsoy Köse Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesi, Eskişehir Ayhan Kızıltoprak Milli Eğitim Bakanlığı, Eskişehir “Gerçekten evrenin sırrını arıyorsanız, benim yaptığım
  • Özel Eğitimde Matematik
    Dr.Öğr.Üyesi. Elif AÇIL Hatay Mustafa KEMAL Üniversitesi Ülkemizde matematik öğrencilerden velilere öğretmenlerden yöneticilere ve hatta politikacılara kadar toplumun hemen her
  • Orantısal Akıl Yürütme Becerisi Nedir, Nasıl Geliştirilir?
    Dr. Mutlu Pişkin TUNÇ Bülent Ecevit Üniversitesi Ereğli eğitim Fakültesi Öğretim Üyesi This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. Öğrencilerin, orantısal ilişkilerle ve rasyonel sayılarla ilgili
  • Sayı Hissi Nedir?
    Sare ŞENGÜL Sayı hissi nedir? Müfredatta çok duyduğumuz bir kavram değil sanırım. Biz sayıları bilmiyor muyuz? ki bir de histen
  • Gelişimsel Diskalkuliye Sahip Çocuklara Matematik Öğretimi
    Dr. Öğr.Üyesi Yılmaz Mutlu Muş Alpaslan Üniversitesi Prof.Dr.Sinan Olkun Uluslararası Final Üniversitesi Gelişimsel Diskalkuli (developmentaldyscalculia)matematiğe özgü güçlükleri ifade etmek amacıyla
  • Matematik Öğretiminde Öğrencinin Sesine (Düşüncesine) Yer Açma
    Prof. Dr. Zülbiye TOLUK UÇAR Bolu Abant İzzet Baysal Üniversitesi Araş. Gör. Figen BOZKUŞ Kocaeli Üniversitesi Öğrenciler sınıfa bir takım
  • Tam Sayıların Öğretiminde Temsiller
    Doç. Dr. Ali Sabri İPEK Recep Tayyip Erdoğan ÜniversitesiEğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Tam sayının tanımı Tam sayılar,
  • Drama Yöntemi İle Etkili Matematik Öğretimi
    Nazmiye AKYAZI Matematik Öğretmeni Günümüz eğitim anlayışı öğrencinin bilgi düzeyinin değerlendirilmesinden ziyade, bilginin birey için anlamlı ve yaşantısal hale getirilmesi
  • 1

Sayılar 2020

Apsistek

Vizetek

ISSN: 2687-3575

Email: apsistekdergi@gmail.com

0312 482 00 11

0544 482 0017

Harbiye Mah. Hürriyet Cadd. 56/A Çankaya/ANKARA