Arşiv

 Nazmiye AKYAZI

Matematik Öğretmeni


 

Günümüz eğitim anlayışı öğrencinin bilgi düzeyinin değerlendirilmesinden ziyade, bilginin birey için anlamlı ve yaşantısal hale getirilmesi esasına dayanmaktadır. Eğitim ve öğretimde öğrencileri ezbere iten, düşünmeye sevk etmeyen, öğrencinin sürekli dinlediği bir sistem artık çağımızda kabul görmemektedir. Bunun yerine karşılaştığı problemlere çözüm önerileri getiren, yaşadığı çevreyi sorgulayabilen, duygularını ve aklını birlikte kullanan, bilgiyi özümseyerek onu işe dönüştüren bireylerin yetişmesi amaçlanmaktadır (Karakaya, 2007). Bu amacın gerçekleşmesi için etkili akıl yürütme, eleştirel düşünme ve problem çözme becerileri gerekli zihinsel becerilerdir (Karapınarlı, 2007). Bu bağlamda öğrencilerin araştırma ve sorgulama yapabilecekleri, iletişim kurabilecekleri, eleştirel düşünebilecekleri, gerekçelendirme yapabilecekleri, fikirlerini rahatlıkla paylaşabilecekleri ve farklı çözüm yöntemlerini sunabilecekleri sınıf ortamları oluşturulmalı ve öğrencilerin öğrenme sürecinin her aşamasında aktif olduğu, yaparak yaşayarak öğrendiği yöntemler kullanılmalıdır (MEB, 2018). Bu yöntemlerden birisi de drama yöntemidir. 

Drama, bir kelimenin, bir düşüncenin, içsel bir durumun, bir tasarımın veya olayın çeşitli teknik ve oyunsu süreçlerden yararlanılarak eyleme dönüştürülmesidir (San, 1996). Drama yöntemine dayalı olarak işlenen bir derste öğretmenin rolü, geleneksel sistemdeki gibi bilgi vermek yerine öğrencilerin yeni bilgileri keşfetmelerine, yapılandırmalarına yardımcı olmak, bu tür bilgiler hakkında konuşmaları için ortamlar ve fırsatlar yaratmaktır (Anderson, 2005). Eğitimde drama yöntemi; aktif öğrenme, sosyal öğrenme, keşfederek öğrenme, işbirlikli öğrenme gibi çeşitli türleri bir arada sunan bir yöntemdir. Eğitimde drama yönteminin temel amacına bakıldığında bireyin kendini ifade edebilmesi, araştırma istek ve duygusunun geliştirilmesi ve yaratıcı kılınmasıdır ki drama etkinliklerinin doğasında tüm katılımcı ve izleyicilerin sözlü ve sözsüz etkileşim yoluyla yaşayarak öğrenmeleri vardır (Yılmaz ve Sünbül, 2003). Bu yöntemle öğrenci, öğrenme ortamında aktif hale gelir, eğlenirken öğrenir, yaparak yaşayarak öğrendiği için bilgiler daha kalıcı olur, iletişim becerileri gelişir, yaratıcılığını ortaya koyma fırsatı bulur, problem çözme becerisi gelişir (Kara ve Çam, 2007). Eğitimde drama yönteminin kullanımı aynı zamanda öğrencilerin farklı disiplinleri bir arada kullanarak kendi öğrenmelerini kendilerinin yapılandırmasını sağlar, öğrencileri öğrenmeye istekli hale getirir, öğrencileri derse karşı cesaretlendirip bu süreçte onların aktif olmalarını sağlar. Öğrenciler için bu süreçte en gerekli malzeme hayal gücüdür.Bu süreç; görmek, duymak, hissetmek, koklamak, tadını almak gibi zihinsel işlemleri gerektirmektedir. Bunların yapılması öğrencilerin zihinsel becerilerini geliştirmektedir. Böylece konu da daha canlı ve yaşantısal hale gelmektedir.Ayrıca drama yöntemi öğrencilere bilişsel açıdan olduğu kadar duyuşsal açıdan da önemli katkılar sunar.Öğrencilerin drama sürecinde sosyalleşerek kendilerine güven ve saygı duymalarına yardımcı olur. Dramada öğrenciler başka bir kimliğe bürünerek başkalarının nasıl hissettiğini, düşündüğünü anlama imkanı da bulmaktadırlar.Bu da öğrencilerin empati yeteneğinin gelişmesine katkı sağlamaktadır. Yine öğrenciler dramada bizzat katıldıkları ve hoşlandıkları bir etkinlik yaptıkları için daha fazla tecrübe edinirler, hislerini, duygularını açıklama imkanı bulurlar.

Matematik eğitimi ise bireylere fiziksel dünyayı ve sosyal etkileşimleri anlamaya yardımcı olacak geniş bir bilgi ve beceri donanımı sağlar; çeşitli deneyimlerini analiz edebilecekleri, açıklayabilecekleri, tahminde bulunacakları ve problem çözebilecekleri bir dil ve sistematik kazandırır; yaratıcı düşünmeyi kolaylaştırır ve estetik gelişimi sağlar (MEB, 2005). Ancak, matematik öğrenciler tarafından öğrenilmesi zor ve zorunlu bir ders olarak değerlendirilmektedir (Alakoç, 2003). Öğrencilerin matematik dersinin öğrenilmesi zor ve sıkıcı bir ders şeklindeki ön yargısını değiştirebilmek çok önemlidir. Matematiğe karşı olumsuz olan ve öğrenme sürecini olumsuz yönde etkileyen algıları olumluya dönüştürüp matematiği zevkli, eğlenceli bir ders haline getirmek gerekmektedir. Matematik, soyut bir ders olmasının yanı sıra genellikle öğrenciler tarafından günlük hayatla bağdaştırılamayan bir ders olarak da görülmektedir. Oysa hayatın her aşamasında matematik vardır. Zaten matematik öğretiminin en önemli amacı bireyin hayatta karşılaşabileceği sorun ve problemlere en kısa yoldan çözüm bulmalarını sağlamaktır. Bu nedenle matematik dersleri, bilgi öğretmeye değil, araştırmaya, düşünmeye, doğru soru sormaya, kendi kendine öğrenmeye yönelik olmalıdır. Bu bağlamda matematikle ilgili temelin oluşturulması ve matematiksel becerilerin kazandırılabilmesi için uygun eğitim yaşantılarının düzenlenmesi gerekmektedir. Matematiksel kavram ve becerilerin öğretiminde öğretmenin öğrenme ortamında kullanacağı öğretim yöntemleri büyük önem taşımaktadır. Özellikle de matematik gibi öğrencilerin çoğunun olumsuz tutum geliştirdiği bir dersin öğretiminde yöntem seçiminin doğru yapılması ve etkili yöntemlerin kullanılması oldukça önemlidir. Zira derste kullanılan yöntemler, öğretmenin davranışları, kullanılan araç-gereçler, matematiğin mümkün oldukça somutlaştırılması ve öğrencinin zihninde tam oluşması matematik öğretimini etkileyebilmektedir (Altınsoy, 2007). Matematik öğretimi zaten daha çok problem çözmeye dayanan bir süreçtir. Bu süreçte öğrencilerin somut ve gerçek hayatla ilişkili problemlerle karşı karşıya getirilmesi önemlidir. Gerçek hayat problemlerini sınıf ortamına taşıyarak öğrencinin problemi daha iyi anlamasına fırsat veren öğretim yöntemlerinden yararlanmak gerekir. Matematik dersinde, gerçek durumların yansıtılması ve gerçek durumların olduğu yerlere gidilmesinin mümkün olmadığı durumlarda dramadan faydalanılabilir. Örneğin alışveriş problemlerinde geçen; kar, zarar, ağırlık vb. durumların kavratılmasında sınıfın bir köşesi bakkal dükkânı haline veya manav haline getirilebilir. Burada öğrencilerin yaptıkları etiketler, sembolik yiyecekler, küçük bir terazi vb. araç ve gereçler bulunabilir (Baykul, 2009).Bunun gibi matematik dersinin drama yönteminden faydalanılarak canlandırılması öğrenciler için anlaşılması zor olarak görünen birçok konunun kolayca anlaşılmasını sağlayabilir. Nitekim uzun yıllardır çocukların günlük yaşantılarında oyun ve projelerle matematiksel kavramlar öğretilmeye çalışılmış, böylece oyun sırasında çocuğun bilişsel gelişimi desteklenmiştir. Bu açıdan derslerde gerçek nesnelerin ya da gerçek nesnelerin yerine konulan simgesel nesnelerin de yardımı ile çeşitli konulardaki birçok kavram (büyüklük, ağırlık, biçim...) ve bu kavramlara ait tanımlayıcı, açıklayıcı bilgilerin öğrenilmesi kolaylaştırılabilir. Bu şekilde matematik öğrenciler için daha somut ve anlamlı hale getirilebilir. Bu bağlamda öğrencilerin matematikle ilgili becerilerini geliştirmede dramadan yararlanılabilir. Öğrencilerin matematiği yaparak yaşayarak, çeşitli problem durumlarına kendi çözüm önerilerini getirerek, sorgulayarak öğrenmelerine imkan sunar. Matematik dersinde, yine başta problem çözme yeteneğini geliştirebilme olmak üzere, gerçek yaşamı algılama, ölçme işlemleri yapma ve sayılarla gösterme, varlıkların benzerliklerini, farklılıklarını, büyüklük küçüklüklerini ve konumlarını anlama, araştırma merakına sahip olma, önyargılardan kaçınma, yerinde karar verme, açık fikirli olma amacıyla değişik rol oynamalara yer verilebilir (Üstündağ, 2009). Çünkü yaparak yaşayarak öğrenmeyi temel prensip olarak kabul eden drama, çocukların fiziksel, sosyal, mantıksal-matematiksel bilgiye ulaşmalarında önemli bir basamağı oluşturur. Bu açılardan matematikdersi drama yönteminin kullanılması için oldukça uygundur. Ayrıca dramanın matematik eğitiminde kullanılması oyun ve harekete dayalı bir öğrenme ortamı sunduğundan öğrencilerin matematiği deneyimleyerek öğrenmesi için uygun ortamı sağlayarak öğrenciyi edilgen bir dinleyici konumundan kurtarıp kendi öğrenmesinden sorumlu aktif bir öğrenici konumuna getirebilir. Öğrenciler öğrenmeye çalıştıkları şeyleri yaparak yaşayarak, görerek ve duyumsayarak yani kendi yaşantılarıyla ilişkilendirdikleri için bilgilerin içselleştirilmesi ve kalıcılığı daha fazla olabilmektedir. Bundan dolayı, matematik öğretiminde drama kullanılarak bu yöntem içerisinde yer alan dramatik öğeler ve oyunlar sayesinde matematiğe duyulan önyargı ve kaygılar da ortadan kaldırılabilir. Ayrıca bu dramatik öğeler ve oyunlar yardımıyla öğrencilerin derse karşı olumlu tutum geliştirmeleri, matematiksel kavramları sevmeleri, öğrenmek için heyecan ve ilgi duymaları sağlanabilir (Türker, 2011). Bu olumlu öğrenme ortamı öğrencilerin matematik dersini kavrama ve uygulama düzeylerindeki başarılarını artırmada önemli bir rol üstlenebilir.Drama yönteminin, öğrencilerin öğrenmeye motive edilmelerine ve dikkatlerini sürdürmelerine yardım ettiği, özellikle düşük yetenekli öğrencilere problem çözme ve üst düzey düşünme becerilerinin kazandırılmasında etkili olduğu, öğrencilerde başkalarının fikirlerine saygılı olma, hoşgörülü olma, empati kurma ve tartışmayı öğrenme yeteneklerini geliştirmesi gibi birçok duyuşsal ve bilişsel değişkeni olumlu yönde etkilediği bilinmektedir(Erdoğan, 2008).

Matematik öğretiminde dramanın öğrenciye katkılarını aşağıdaki şekilde özetleyebiliriz;

  • Soyut ve karmaşık matematiksel kavramlar somut ve ilgi çekici hale getirilebilir.
  • Öğrenciler yaparak yaşayarak öğrenirler, sürecin bizzat içerisindedirler dolayısıyla aktif durumdadırlar.
  •  Çalışma grup etkinliği olduğu için; öğrenciler, birlikte çalışmayı, dinlemeyi, anlamayı, ayrıntıların farkına varmayı, kendini ifade etmeyi, demokratik olmayı öğrenirler.
  • Öğrenciler yaşamında karşılaşacağı gerçek durumların provasını yaparlar, sorunlara çözüm bulmayı, çözümün birden fazla olabileceğini öğrenirler.
  • Öğrenciler olaylar karşısında neden sonuç ilişkisini kurmayı öğrenirler.
  • Öğrenciler farklı bakış açıları kazanırlar.
  •  Öğrenciler karşıdakinin yerine kendini koyabilmeyi, hoşgörüyü, sabretmeyi öğrenirler.
  • Öğrenciler arkadaşlarıyla sürekli iletişim halinde oldukları için iletişim becerileri gelişir ve dilleri zenginleşir.
  • Öğrenciler karşılaştıkları problemlere çözüm bulmaya çalıştıkları için yaratıcılıkları gelişir.
  • Öğrenciler birden fazla duyu organını kullandığı için anlatılan konu daha canlı ve yaşantısal hale gelir.
  •  Matematik dersine karşı duyulan önyargı ve kaygıları ortadan kaldırıp, öğrencilerde olumlu tutum oluşmasına yardımcı olabilir.
  • Öğrencilerin özgüven ve özsaygılarının artmasına katkıda bulunabilir.

Matematik derslerinde drama yönteminin uygulanmasına yönelik olarak bir sınıf içi etkinliği öğretmenlerimize örnek olarak verebiliriz :

“Balonlarım Var” Draması:

“Balonlarım var” dramasını bir ders saatinde uygulanmıştır. Drama için önceden hazırlanan 14 tane şişirilmiş ve üzerinde (+1) ve (-1) yazan balonlar sınıfa getirilmiştir. Balonlar öğrencilerin oldukça dikkatini çekmiş, balonların ne için sınıfta olabileceğini anlamaya yönelik duyulan istek öğrencilerde dramaya yönelik merak oluşturmuştur.Öğrencilerin biran önce balonlara ulaşmak istedikleri gözlemlenmiştir. Bu balonlar her öğrencinin üzerine asıldıktan sonra öğrenciler balonların üzerinde yazan (+1) ve (-1) ile ilgili fikir yürütmeye başlamışlardır. Fikir yürütme esnasında sayının önündeki “+” ve “- “ ile ilgili olarak öğrencilerin alacak-borç, deniz seviyesine göre yükseklik - alçaklık, hava durumu, asansör gibi örneklerden yola çıkarak bir sonuca ulaşmaya çalıştıkları gözlemlenmiştir. Verdikleri örneklerden yola çıkan öğrenciler “(+1)” ve “(-1)” ile ilgili olarak bunların birbirine zıt olduklarını ve kendi aralarında herkesin kendi grubunu oluşturacağını belirtmişlerdir. Aynı işaretli sayıların toplanması sırasında balonlar aktif olarak kullanılmadığı için öğrencilerin ilgisinde bir azalma gözlemlenmiştir. Ancak zıt işaretli sayıların toplanması kısmına geçildiğinde karşılıklı gelen her “(+1)” ve “(-1)” balonun bir araya gelip patlaması öğrencilerin ilgisini arttırmıştır. Öğrenciler dramanın bu kısmında dramaya katılmak için oldukça ısrarlı davranmışlardır ve dramanın sonunda bir öğrencinin “(+1)” ile “(-1)” i topladığımızda balon patladığına göre elimizde sıfır kalıyor” şeklinde çıkarımı dikkat çekmiştir. Bu da öğrencilerin, drama sürecinde eğlenmelerinin yanı sıra öğrenilecek bilgiye de odaklandıklarını ve drama sürecinde bilgiye kendilerinin ulaşmaya çalıştıklarını göstermektedir. Bu drama sürecinde öğrencilerin kendilerini oyun oynuyor gibi hissettikleri, heyecan ve mutluluk gibi duyguları bir arada yaşadıkları gözlemlenmiştir. Ayrıca bu dramada materyal olarak kullanılan balonların aynı zamanda bir oyun aracı olmasının öğrencileri oldukça mutlu ettiği söylenebilir.

Şekil 1. “Balonlarım var” draması(Akyazıve Kaplan, 2018)

Bu yazımızda drama ve matematik derslerinde dramanın önemi ele alınmıştır. Drama yönteminin öğrencilere bilişsel ve duyuşsal alanlarda yaptığı katkılar açıklanmış ve dramanın matematik derslerinde kullanılmasının önemi madde madde anlatılmıştır. Son bölümümüzde de matematik derslerinde drama yönteminin uygulanmasına yönelik bir sınıf içi etkinlik öğretmenlerimize örnek olarak sunulmuştur. Bu yazımızı okuduktan sonra daha detaylı bilgiye ulaşmak için aşağıda belirtilen kaynaklar incelenebilir.


 Kaynakça

Akyazı, N. ve Kaplan, A. (2018). Drama yöntemi ile tamsayılarla toplama işleminin öğretimi: 6. Sınıf öğrencilerinden yansımalar, Bayburt Eğitim Fakültesi Dergisi, 13(25), 259-294.
Alakoç, Z. (2003). Matematik Öğretiminde Teknolojik Modern Öğretim Yaklaşımları, TheTurkish Online Journal of EducationalTechnology – TOJET vol. 2 Issue 1
Altınsoy, B. (2007). Takım oyun turnuva tekniğinin ilköğretim dördüncü sınıf öğrencilerinin
matematik dersindeki akademik başarısı, kalıcılığı ve matematiğe ilişkin tutumları
üzerindeki etkisi. Yayımlanmamış yüksek lisans tezi. Adana: Çukurova Üniversitesi, Sosyal Bilimler Enstitüsü.
Anderson, G. (2005). Fundamentals of educationalresearch(2nd Edition). Pennsylvania: TheFalmerPress.
Baykul, Y. (2009). İlköğretimde matematik öğretimi (1-5. sınıflar). Ankara: Pegem Akademi Yayınları.
Kara, Y. ve Çam, F. (2007). Yaratıcı drama yönteminin bazı sosyal becerilerin kazandırılmasına etkisi. Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 32, 145-155.
Karakaya, N. (2007). İlköğretimde drama ve örnek bir uygulama. Gazi Eğitim Fakültesi Dergi-si, 27(1), 103–139.
Karapınarlı, R. (2007). İlköğretim 7. sınıf matematik dersinde yaratıcı drama yönteminin öğrencilerin başarı ve kalıcılık düzeyine etkisi (Yayınlanmamış yüksek lisans tezi). Muğla Üniversitesi, Muğla.
San, İ. (1996). Yaratıcılığı geliştiren bir yöntem ve yaratıcı bireyi yetiştiren bir disiplin: Eğitsel Yaratıcı Drama. Yeni Türkiye Dergisi, 7, 148-160.
T.C. Milli Eğitim Bakanlığı, (2005). Ortaöğretim matematik dersi (9, 10, 11 ve 12. sınıflar) öğretim programı. Ankara: TTKB.
T.C. Milli Eğitim Bakanlığı, (2018). Ortaokul matematik dersi ( 5,6,7 ve 8. sınıflar ) öğretim programı. Ankara: TTKB.
Türker, B. (2011). Yaratıcı drama yöntemi ile matematik tarihi dersinin işlenmesi. Yaratıcı Drama Liderlik/Eğitmenlik Programı Bitirme Projesi. Çağdaş Drama Derneği, Ankara.
Üstündağ, T. (2001). Yaratıcı Drama Öğretmeninin Günlüğü. Ankara: Pegem A Yayıncılık.
Yılmaz, H. ve Sünbül, A.M. (2003). Öğretimde planlama ve değerlendirme. Ankara: Mikro Yayınları.

 

Doç. Dr. Ali Sabri İPEK

Recep Tayyip Erdoğan Üniversitesi
Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Eğitimi Anabilim Dalı


Tam sayının tanımı

Tam sayılar, doğal sayılar kümesinin gerek matematiksel gerekse günlük yaşam durumlarından kaynaklı genişletilme ihtiyacı sonucunda ortaya çıkmıştır. x+5=3 şeklindeki bir eşitliğin doğal sayılar kümesinde bir çözümünün olmaması doğal sayıların matematiksel olarak genişletilme ihtiyacına örnek olarak verilebilir. 0 °C‘nin altındaki sıcaklık değerlerinin veya borç-alacak durumlarında borçların ifade edilmesi gibi durumların doğal sayılarla ifade edilememesi ise bu sayıların günlük yaşam kaynaklı genişletilme ihtiyacına örnek olarak gösterilebilir.

Doğal sayıların genişletilmesiyle elde edilen tam sayıları yine doğal sayılar yardımıyla tanımlayabilmekteyiz. Bunun için dematematikte oldukça önemli iki kavram olan sıralı ikili ve bağıntıyı kullanmak durumundayız. Aslında her bir tam sayıyı aynı zamanda bir doğal sayı ikilisi olarak ele almak mümkündür.Doğal sayılar kümesi üzerinde;

a, b, c, d ∈ N olmak üzere (a, b) β(c, d) ⇔ a  + d = c + b 

şeklinde tanımlanan βbağıntısı bir denklik bağıntısı oluşturmaktadır.Herhangi bir küme üzerinde tanımlı bir denklik bağıntısının özelliklerinden biri de üzerinde tanımlandığı kümeyi ayrık denklik sınıflarına bölmesidir. Dolayısıyla yukarıdaki gibi tanımlıβdenklik bağıntısına göre herhangi bir doğal sayı ikilisinin denklik sınıfına tam sayı adı verilmektedir (Kutlu ve Kutlu,1990).

a ̅, a sayma sayısının denklik sınıfını göstermek üzere (0,a) ̅ = -a şeklindeki sayılardan oluşturulan kümeye negatif tam sayılar kümesi (Z-) , (a,0) ̅ = +a şeklindeki sayılardan oluşturulan kümeye ise pozitif tam sayılar kümesi (Z+) adı verilir. Buna göre örneğin -3 negatif tam sayısı (0,3), (1,4), (2,5) vb. doğal sayı ikililerinin; benzer şekilde +5 pozitif tam sayısı ise (5,0), (8, 3), (11, 6) vb. doğal sayı ikililerinin herhangi biri ile temsil edilebilir. Ve buna göre tanımlanan negatif tam sayılar (Z-) ve pozitif tam sayılar (Z+) kümeleri ile tam sayılar kümesi Z = Z∪ {0} ∪ Zolarak elde edilmektedir.

Temsiller ve Tam sayıların öğretimi

Akıl yürütme, ilişkilendirme ve iletişim gibi matematiksel süreç becerileri gerek ulusal gerekse uluslararası düzeydeki matematik öğretim programlarında problem çözme becerisiyle birlikte özellikle son yıllarda çok daha fazlasıyla öne çıkarılmakta ve özellikle vurgulanmaktadır. Matematiksel süreç becerilerinden biri olarak ilişkilendirme becerisi genel olarak matematiğin kendi içerisinde ve matematiği farklı disiplinlerle ilişkilendirme olmak üzere iki alt boyutta ele alınmaktadır. Matematik derslerinde çoklu temsillerin kullanımı ya da matematiksel kavramların çoklu temsillerle ifadesi ise matematiğin kendi içinde ilişkilendirme kapsamına girmektedir.Dolayısıyla matematiksel kavramların çoklu temsillerle gösterimi matematik öğretim programlarında sıklıkla vurgulanmaktadır. Aynı zamanda matematiksel kavramların doğası çoklu gösterimlerle ifade edilmelerini gerekli kılmakta ve bu bağlamda temsiller matematiksel kavramların öğrenme-öğretme süreçlerinde oldukça yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Temelde herhangi bir kavramı başka bir formda sunma olarak tanımlanabilecek temsiller özellikle matematiksel anlama sürecine de önemli katkılar sağlamaktadır.Çünkü matematiksel anlamanın yollarından biri de ilgili kavramın çoklu temsilleri ve bu temsiller arasındaki dönüşümlerdir. Bu anlamda temsiller matematikteki her konuda olduğu gibi sayılar ve işlemlerde de geniş bir kullanım alanına sahiptir.

İlkokulda sayılar ve işlemler öğrenme alanında yer alan doğal sayılar ve kesirlerle ilgili temel kavramları edinen öğrenciler tam sayılarla ilk kez ortaokul sıralarında karşılaşmaktadırlar. Öğrencilerin bu süreçte tam sayılarla ilgili temel özellikler ve tam sayılarla işlemler konularında zorluklar yaşamaları kuvvetle muhtemeldir. Bu bağlamda temsiller hem bu kavramların tanıtılması hem de bu kavramla ilgili kavramsal temellerin oluşturulması sürecinde önemli işlevlere sahiptir. Bu nedenler dolayısıyla da öğretmenler ortaokul matematiğinin önemli konularından biri olan tam sayıların öğretiminde temsilleri sıklıkla tercih etmektedirler.

Temsil sistemi üzerinde farklı sınıflandırmalar mevcuttur. Temsiller genel olarak iç ve dış olarak iki kategoriye ayrılmakta ve bu iki kategori kapsamında farklı modeller geliştirilmektedir. Dış temsiller kategorisi içerisinde yer verilen çoklu temsiller için de ilgili konu veya kavramlara göre farklı sınıflandırmalar mevcuttur. Tam sayıların öğretiminde de bu türde farklı sınıflandırmalar söz konu olmakla birlikte, bu konu özelinde genel olarak semboller, modeller ve bağlamlar olmak üzere üç temsil türü kullanılmaktadır (Kumar, Subramaniam &Naik, 2017). Bu temsil türlerine dikkat edilirse burada soyuttan somuta doğru belli bir döngünün söz konusu olduğu görülecektir. Bir başka ifadeyle bu temsil türlerinden sembolleri soyut, modelleri yarı somut/soyut ve bağlamları ise somut olarak ele almak mümkündür.Tam sayılar konusundaki bu temsil türleri ve bu süreçte dikkate alınması gerekli hususlar üzerinde bilgi sahibi olmak bu kavramlara yönelik sınıf içinde yapılacak öğretim faaliyetlerinin niteliğine doğrudan katkı sağlayacaktır.

i) Semboller

Matematikte oldukça yoğun şekilde kullanılan sembollerin temel işlevinin ilgili kavramları tanımlayarak en kısa/sade şekilde ifade etmek olduğu söylenebilir. Semboller soyut olarak değerlendirilmekle birlikte aslında ders materyallerinde ve öğretim ortamlarında da oldukça yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Bununla birlikte matematiksel sembollerin öğrenciler tarafından anlaşılması ve kullanılması hiç de kolay olmamakta ve bu süreç genellikle zaman almaktadır. Tam sayılar ve bu sayılarla işlemler konularında ise bu temsil türü,pozitif ve negatif tam sayılar ile ‘+’ ve ‘-’ işaretlerini de içerecek şekilde bu sayılarla yürütülen işlemler ile ilgilidir. Sembollerin kullanımına tam sayılarla çarpma işlemini toplama işlemiyle ilişkilendiren aşağıdaki eşitlikler örnek olarak verilebilir:

(+2) . (+3)  = [(+3) +(+3)]
(+2) . (-3)   = [(-3) + (-3)]

                                     (-2) . (+3)   = (-)[(+3) + (+3)]
                                     (-2) . (-3)    = (-)[(-3) + (-3)]

Tam sayılar konusunda pozitif ve negatif tam sayıların işaretleri ile toplama ve çıkarma işlemlerinin(sayı ve işlem işaretlerinin) aynı gösterime sahip olması, öğrencilerin bu kavramları anlama ve ayırt etmelerindeki önemli öğrenme güçlüklerinden birini oluşturmaktadır. Yani bu konuda ‘+’ sembolü hem bir pozitif tam sayının hem de toplama işleminin işareti; ‘-‘ sembolü de hem bir negatif tam sayının hem de çıkarma işleminin işareti olarak kullanılmaktadır. Daha önceki konularda ‘-‘ işaretini yalnızca çıkarma işleminin bir sembolü olarak görmüş olan öğrenciler için tam sayılar konusunun bu anlamda önemli bir eşik noktası olduğunu söylemek mümkündür. Ve bu bağlamda özellikle‘-‘ işaretinin kullanımının daha önceden bilinen doğal sayılar veya kesirlerdeki çıkarma işlemindeki anlamın ötesine taşınması gerekmektedir. ‘–‘ işaretinin çoklu kullanımlarına vurgu yapan Vlassis (2008) bu noktada tekli, ikili (çift) ve simetrik olmak üzere üç farklı anlamdan söz etmektedir. Tekli fonksiyonunda (3 sayının önüne eksi işareti konularak -3 sayısını elde etme örneğinde olduğu gibi) ‘-’ işareti negatif bir sayı oluşturmak için ilgili sayının önüne eklenmektedir. 4-1 şeklindeki bir çıkarma işleminde işaret olarak ‘-‘ nin kullanımı ise bu işaretin ikili fonksiyonuyla ilgili kullanıma yönelik bir örnektir. Simetrik fonksiyonda ise eksi işareti (-(-5) örneğindeki gibi) bir sayının toplama işlemine göre tersini alma işleminde kullanılmaktadır.Öğrenciler bu gibi fonksiyonları derslerde daha etkin bir şekilde kullandığı takdirde herhangi iki tam sayının çıkarma işleminin aynı zamanda eksilen ile çıkanın ters işaretlisiyle toplamak anlamına gelmesi gibi özellikleri daha kolay bir şekilde kazanabilir.Yukarıdaki açıklamalara ve örneklere dikkat edilirse ‘-‘ işaretinin matematikte yalnızca bir şekilde karşımıza çıkmadığı görülmektedir. Bununla birlikte ‘-‘ sembolü için yukarıda sözü edilen anlamların dışında ‘toplamanın tersi’, ‘çıkarma işleminin işareti’ , ‘-1 ile çarpma’ , ‘sıfırdan uzaklık’ gibi farklı yorumlamalarda da bulunmak mümkündür. Bu gibi farklı anlamlar veya yorumlamalar öğrencilerin bu süreçlerdeki yaşayabilecekleri muhtemel zorlukların temel kaynaklarını oluşturmaktadır. Bu kavramlar ve sembollere yönelik matematik öğretmenlerinin alan ve öğretim bilgileri oldukça önemli bir konu olarak öne çıkmaktadır. Öğrencilerin tam sayı kavramının ve işlemlerin gelişimi süreci açısından yukarıda sözü edilen bu farklı anlamların her biri üzerinde öğretmenlerin bilgi sahibi olmaları ve sembolik temsilleri bu farklı anlamları dikkate alarak kullanmaları gereklidir.

ii) Modeller

Matematiksel kavramların öğretimindeki/öğrenimindeki zorluklar matematik derslerinde model kullanımını gerekli kılmaktadır. Matematik eğitimi üzerinde güncel çalışmalarda matematik derslerinde modellerin yalnızca öğretmenler tarafından değil aynı zamanda öğrenciler tarafından da kullanımına vurgu yapılmaktadır. Modeller, hem sınıf içinde hem de ders materyallerinde tam sayılar ve bu sayılarla ilgili işlemlerin öğretiminde de sembolik temsiller kadar yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Tam sayıların öğretiminde farklı modeller dile getirilmekte ve kullanılmakla birlikte bu modeller arasında özelliklesayı doğrusu ve sayma pulları öne çıkmaktadır.Bu yazıda ise söz konusu bu modellerden sayı doğrusu üzerinde durulacaktır. 

Sayı doğrusu, özellikle sayılar ve işlemler öğrenme alanlarında kullanılan modellerin başında gelmektedir. Öğretmenler sayı doğrusunu sayıları, sayılar arasındaki ilişkileri ve işlemleri görselleştirmede kullanabilmektedirler. Teppo & van den Heuvel-Panhuizen (2014) sayı doğrusu modelini, sayılar ve işlemler arasındaki ilişkileri vurgulamak için düzenlenen temsil sisteminin bir bileşeni olarak ele almaktadır.Öğretim programlarında tam sayılardan önce yer verilen doğal sayı, kesirler, ondalık gösterimler ve bu sayılarla ilgili işlemlerin öğretiminde de sayı doğrusu modeli oldukça yoğun bir şekilde kullanmaktadırlar. Bu modellemeler genellikle tahtada çizilen sayı doğrusu ve üzerinde çizilen oklarla gerçekleştirilmektedir. Burada sayılar ile toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin görselleştirilmesi okların büyüklüğü ve yönü ile sağlanmaktadır. Sayıların çokluğu/büyüklüğü okların büyüklüğü ile ilgili işlemler ise okların yönü ile görselleştirilmeye çalışılmaktadır. Buradaki dört temel işlemden toplama ve çarpma ile çıkarma ve bölme işlemleri arasında temel bir farklılık noktası söz konusudur. Bu farklılığın aslında sayma temelli olduğunu söylemek mümkündür. Bir başka ifadeyle bu durum toplama ve çarpma işlemlerinin ileriye doğru (toplama işlemi ileriye doğru birerli- çarpma işlemi ileriye doğru ritmik), çıkarma ve bölme işlemlerinin (çıkarma işlemi geriye doğru birerli-bölme işlemi geriye doğru ritmik) ise geriye doğru saymaya dayalı olmasından kaynaklanmaktadır. Dolayısıyla ilgili modellemelerde toplama ve çarpma işlemleri ile çıkarma ve bölme işlemleri arasındaki bu farklılık okların yönleriyle verilmektedir.
Sayı doğrusu ilkokulda da çeşitli matematiksel kavramların öğretiminde/öğreniminde kullanılan bir modeldir. Sayı doğrusunun tam sayılardan daha önceki konularda da kullanılmış olmasını hem öğretmenler ve öğrenciler açısından olumlu bir unsur olarak değerlendirmek mümkündür. En azından öğrenciler tam sayılar ve bu sayılarla işlemlerde aşina oldukları sayı doğrusunun kullanımında hazır bulunuşluk açısından çok fazla sıkıntı yaşamayacaklardır. Bununla birlikte tam sayıların doğasından kaynaklı nedenler dolayısıyla tam sayıların ve ilgili işlemlerin modellemelerinde yine de zorluklar yaşanabilmektedir. Bir başka ifadeyle, daha önceki sayılar ve sayı kümeleri üzerindeki işlemler ile tam sayılar ve tam sayılarla ilgili işlemlerin modellemelerinde farklılıklar söz konusudur. Buradaki farklılıklardan biri de daha önceki sayı kümeleri üzerinde yürütülen işlemlerde kullanılan sayılar ile tam sayıların işaretlerinden kaynaklıdır.Kısacası, yönlü sayılar olarak da ifade edilen tam sayıların pozitif veya negatif olma durumları gereği bu sayılarda ‘+’ ve’-‘ sembollerinin kullanımı, kesirler ve ondalık gösterimde söz konusu değildir. Bu noktada pozitif ve negatif tam sayıların ifade edilmesinde bu sayıların önüne konan ‘+’ ve ‘–‘işaretleri ile toplama ve çıkarma işlemlerinin ifadeleri için kullanılan ‘+’ ve ‘–‘ işaretlerinin ayırt edilmesinde de zorluklar yaşanabilmektedir. Ve bahsedilen bu zorluk aynı zamanda sayı doğrusu ile modellemelerde yaşanan sıkıntıların temel kaynaklarından birini oluşturmaktadır. Çünkü sayı doğrusu üzerinde çizilen bu oklar hem sayılar ve işlemler arasındaki bu farklılıkları vurgulayabilmede sınırlı kalabilmektedir. Bu bağlamda Van De Walle, Karp ve Bay-Williams (2012)sayı doğrusu ve sayma pulları ile yapılacak modelleme çalışmalarında bu modelleri sınıf içinde kullanmanın ötesinde tam sayıların çokluk (büyüklük) ve terslik (zıtlık) boyutlarının üzerinde de durulmasına özellikle vurgu yapmaktadırlar.

Bu zorlukların giderilebilmesi veya en azından azaltılabilmesi amacıyla tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemleriyle ilgili çalışmalarda (Çemen, 1993; Billstein, Libeskind & Lott, 2010) da yer verilen aşağıdaki etkinlik, bu işlemleri daha anlamlı kılmada ve görsel olarak açıklamada kullanılabilir:

i) Sınıf zemini üzerine pozitif ve negatif tam sayıların da yer aldığı bir sayı doğrusu çizelim.
ii) Öncelikle 0 başlangıç noktasından duralım ve yüzümüzü sağa (pozitif tam sayıların olduğu yöne) dönelim.
iii) Sayımız pozitif tam sayı ise bulunduğumuz yönde ileriye doğru; negatif tam sayı ise geriye doğru (yönümüzü değiştirmeden) hareket edelim.
iv) İşlemimiz toplama (+) ise yönümüzü değiştirmeyelim çıkarma (-) ise yönümüzü değiştirelim.

Örneğin belirlenen bu aşamaları öncelikte “(+3) + (– 2) = ?” şeklindeki bir toplama işlemi için yürütelim:
i) Başlangıç noktasında (0 noktasında)sağa (pozitif tam sayılara) doğru dönülür.
ii) İleriye doğru 3 birim gidilir (+ 3).
iii) Yönde herhangi bir değişikliğe gidilmez (toplama işlemi).
iv) Bulunulan yönde geriye doğru iki birim gidilir (– 2).

Şekil 1. Sayı doğrusunda (+3) + (– 2) işleminin modellemesi

Toplama işlemi için yapılan bu aşamaları bir de “(-4) - (– 3) = ?” çıkarma işlemi için yürütelim:
i) Başlangıç noktasında (0 noktasında) sağa (pozitif tam sayılara) doğru dönülür
ii) Geriye doğru 4 birim gidilir (-4)
iii) Yön değişikliğine gidilir (çıkarma işlemi)
iv) Bulunulan yönde geriye doğru üç birim gidilir (– 3)

Şekil 2. Sayı doğrusunda (-4) - (– 3) işleminin modellemesi

Bu modellemeye dikkat edilirse burada ilgili ders materyallerinde ve sınıf içi uygulamalarda sıklıkla kullanılan sayı doğrusu modellemesinden bazı farklıklar söz konusudur. Öncelikle burada sayı doğrusu, sınıf tahtası yerine sınıf zemini üzerinde tasarlanmaktadır. Bu şekilde öğrenciler sayı doğrusu üzerine ileri-geri hareket ederek yönlü sayı olarak da adlandırılan tam sayılarla ilgili işlemleri bu model üzerinde uygulama fırsatına sahip olabilmektedirler. Ve bu kullanım şekli tam sayılarla ilgili işlemlerin özellikle yönle ilgili vurgulamalarında esneklik ve pratik yapma imkanı sağlamaktadır. Aynı zamanda bu şekilde modelleme ile sayı doğrusunda okların sayılar ve işlemler arasındaki farklılığı vurgulamadaki olası sınırlılığı da asgari düzeye indirilebilmektedir. Çünkü bu uygulamada ileriye yada geriye gitme ile bulunduğun yönü değiştirme/değiştirmeme şeklinde iki farklı aşama söz konusudur. Buradaki ilk aşama (bulunduğun yönde ileri/geriye gitme) tam sayının işaretiyle ilgili iken ikinci aşama (bulunduğun yönde değişikliğe gitme/gitmeme) ise tam sayılarla toplama veya çıkarma işlemiyle ilgilidir. Sonuç olarak bu modellemeyle pozitif tam sayının işareti ile toplama işleminin; negatif tam sayının işareti ile çıkarma işleminin işareti arasında fark çok daha net bir şekilde ortaya konabilmektedir. Kısacası tam sayılar (pozitif/negatif) ile tam sayılarla işlemler (toplama/çıkarma) arasında ortaya konması gerekli fark bu modelleme ile daha belirgin hale gelmektedir. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemi için tasarlanan bu etkinlik aynı zamanda tam sayılarla çarpma ve bölme işlemleri içinde düşünülebilir ve bu işlemlere genişletilebilir.

iii) Bağlamlar

Tam sayıların ve işlemlerin öğretiminde kullanılabilecek üçüncü ve son temsil türüde bağlamlardır. Matematikte bağlamların yalnızca bu konuyla ilgili olmayıp aslında oldukça geniş bir kullanım alanı söz konusudur. Bununla birlikte özellikle tam sayıların ve işlemlerin öğrenciler tarafından anlaşılmasında da oldukça etkin bir rolü vardır. Burada ilgili kavramlar özellikle sayının büyüklüğü ve yönü ilgili bağlamlarla daha anlamlı hale getirilebilmektedir. Tam sayılar kapsamında borç-alacak, kar-zarar, sıcak-soğuk, postacı hikayeleri, tarih yada zaman çizelgeleri veya deniz seviyesinin ya da herhangi bir binanın zemin katının üstü-altı gibi bağlamlar öne çıkmaktadır.Bu bağlamları sınıf içinde öğrencinin seviyesi, öğretmenin konu ile ilgili hedefleri gibi faktörler çerçevesinde daha da arttırmak mümkündür. Bununla birlikte bağlamların tam sayıların öğretim sürecinde yukarıda bahsedilen temsil türlerinden daha önce verilmesi gereğini öğretimin temel ilkelerinden biri olarak hatırlatmakta fayda vardır. Bir başka ifadeyle tam sayılarla ilgili temel kavramları ve bu sayılarla işlemleri tanıma veya konuya giriş aşamalarında bağlamlar öncelikle dikkate alınmalı ve kullanılmalıdır. Öğrencilerin yeni edinecekleri bu kavramları günlük yaşam deneyimleri ve daha önceki bilgileriyle ilişkilendirebilmeleri bu noktadaki en önemli gerekçe olarak karşımıza çıkmaktadır.Bununla birlikte bu bağlamların kullanım sürecinde dikkat edilmesi gerekli bazı noktalar söz konusudur.

Bu süreçte günlük yaşamda tam sayılara hangi durumlarda ihtiyaç duyulduğuna yönelik uygulamalara öncelikle ve özellikle önem verilmelidir. Bir başka ifadeyle tam sayılarla ilgili kavramların ilk karşılaşma sürecindeki bağlamların seçimi ve kullanımında, günlük yaşamda bu sayıların kullanımına yönelik ihtiyaca dönük uygulamalara yer verilmelidir. Öğrencilerin daha önceden bilgi sahibi oldukları konulardan biri olan doğal sayılar ile ilk kez karşılaşacakları tam sayıların günlük yaşamdaki kullanım alanları arasındaki farklılıklara özellikle değinmek gerekir. Örneğin ağırlık veya uzunluk ölçüleri gibi durumlar ile sıcaklık değerleri veya alacak-borç veya sıcaklık gibi durumların sayısal olarak ifade edilmeleri arasındaki farklılıklara bu noktada yer verilebilir. ‘Kasaptan aldığımız etin kilosu 32 TL’dir’ ile ‘Gece hava sıcaklığı sıfırın altında 5°C olarak ölçülmüştür’ gibi günlük yaşam durumlarının sayısal olarak ifadeleri arasındaki farklılıklar üzerinde durmak gerekir. Bununla birlikte öğrencilere bu noktadaki farklılıkların temel olarak başlangıç noktasından kaynaklandığı sezdirilmelidir.
Tam sayıların ve tam sayılarla işlemlerin anlamları da bu süreçte öne çıkarılması gerekli hususlar arasındadır. Toplama-çıkarma işlemlerinin birleştirme, parça-parça-bütün, ayırma ve karşılaştırma anlamları çarpma ve bölme işleminin ise eş gruplar ve karşılaştırma gibi anlamları bu noktada öne çıkmaktadır. Olkun ve Toluk (2003) anlam çeşitliliğini yansıtan bağlamlara yer vermenin kavram bilgisi ve problem çözme becerisinin gelişimi için gerekli olduğuna dikkat çekmektedir. Konu ile ilgili kavramsal temel oluşturma ve problem çözme, akıl yürütme gibi becerilerin geliştirme aşamalarında kavramların farklı anlamlarına dönük uygulamalara ağırlık verilmesi gerekmektedir.‘Arkadaşıma 20 TL borcum vardı. Bugün 15 TL daha borç aldığımda arkadaşıma borcum ne kadar olur?’,‘Dün 35 TL kar ettikten sonra bugün 20 TL zarar eden kişinin iki gün sonundaki kar-zarar durumu nedir?’, ‘Salih arkadaşına olan 45 TL borcunun 15 TL’sini öderse geriye ne kadar borcu kalır?’ , ‘Ankara’daki hava sıcaklığı İstanbul’dan 5 °C daha düşüktür. İstanbul da hava sıcaklığı sıfırın üzerinde 10 °C ise Ankara’daki sıcaklık değeri nedir?’ şeklindeki bağlamların her biri toplama-çıkarma işlemlerinin yukarıda sözü edilen farklı anlamlarına yönelik örnekler olarak verilebilir. Çarpma ve bölme işlemlerine yönelik bağlamlarda da benzer şekilde bu işlemlerin farklı anlamlarına dikkat etmek gerekir. Bu ve benzeri bağlamları sınıfta kullanırken yalnızca ilgili bağlamlara karşılık gelen işlemler ve çözümleri üzerine odaklanmayıp aynı zamanda işlemlerin farklı anlamları üzerinde de durulması kavram bilgisinin geliştirilmesine önemli katkılar sağlayabilecektir.

Son olarak bağlamların yazılı yada sözel ifadelerin de bir noktaya dikkat çekmek gerekir. Yukarıda bahsedildiği gibi herhangi bir tam sayı hem çokluk hem de zıtlık gibi iki ayrı kavram içerdiğinden bu tam sayıya karşılık gelen günlük yaşam durumunun yazılı yada sözel ifadesinde bu iki kavrama da ayrı ayrı vurgu yapılmasına dikkat etmek gerekmektedir. Bu bağlamda, +5 pozitif tam sayısı için ‘bugün sıcaklık +5 °C olarak ölçülmüştür’ ifadesi yerine ‘bugün sıcaklık sıfırın 5 °C üzerinde ölçülmüştür’ veya -7 negatif tam sayısı için ‘denizde -7 metre aşağıdan seyreden denizaltı’ yerine ‘deniz seviyesinden 7 metre aşağıda seyreden denizaltı’ ifadeleri tam sayıyı karşılık gelen ilgili bağlamın daha doğru bir şekilde ifade edilmesine örnek olarak verilebilir.Yukarıda da ifade edilmeye çalışıldığı gibi -5 negatif tam sayısının‘eksi 5’, ‘5 in toplamaya göre tersi’, ‘5’in negatifi’, ‘ 5’in -1 ile çarpımı’ gibi farklı yorumlamaları söz konusudur. Öğretmenin konunun öğretim sürecinde bu gibi örneklerdeki gibi farklı ifadeleri nerede ve nasıl kullanacağı oldukça önem arz etmektedir. Çünkü kavram yanılgılarının temel kaynaklarından birinin de ilgili kavramlara yönelik öğretmenlerin kullandıkları dil olduğu bilinmektedir. Bu noktada ilgili bağlamlardaki yazılı yada sözlü ifadelendirmelerin öğrencilerin tam sayılarla ilgili kavram yanılgıları üzerinde etkisinin olacağı hususu göz ardı edilmemelidir.


Kaynaklar

Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. (2010). A problem solving approach to mathematics for elementary school teachers (10th ed.), Redding: Addison-Wesley.
Çemen, P. B. (1993). Adding and subtracting integers on the number line. Arithmetic Teacher, 40(7), pp. 388–389.
Kumar, R. S., Subramaniam, K., & Naik, S. (2017). Teachers’ construction of meanings of signed quantities and integer operation, Journal of Mathematics Teacher Education,20(6), pp. 557–590.
Kutlu, S. N. ve Kutlu, B.(1990).Modern Temel Matematik (Soyut Matematiğe Giriş), Fil Yayınevi, İstanbul.
Olkun, S. ve Toluk, Z. (2003). İlköğretimde etkinlik temelli matematik öğretimi. Ankara: Anı Yayıncılık, Başak Matbaacılık.
Teppo, A., & van den Heuvel-Panhuizen, M. (2014). Visual representations as objects of analysis: the number line as an example. ZDM, 46(1), pp. 45-58.
Van de Walle, J.A. Karp, K.S. ve Bay-Williams, J.M. (2012). İlkokul ve ortaokul matematiği: Gelişimsel yaklaşımla öğretim. (Çev. Editörü: Soner Durmuş). Ankara: Nobel Yayın Dağıtım. 7. Basımdan Çeviri.
Vlassis, J. (2008). The role of mathematical symbols in the development of number conceptualization: Thecase of the minus sign,Philosophical Psychology, 21(4), pp. 555–570

 Dr. Öğr.Üyesi Yılmaz Mutlu

Muş Alpaslan Üniversitesi

Prof.Dr.Sinan Olkun

Uluslararası Final Üniversitesi


Gelişimsel Diskalkuli (developmentaldyscalculia)matematiğe özgü güçlükleri ifade etmek amacıyla yaygın olarak kullanılan bir terimdir. Gelişimsel diskalkuli veya Türkçe’de yaygın olarak kullanılmaya başlanan karşılığıyla matematik öğrenme güçlüğü matematiksel kavram ve becerilerin edinimini olumsuz yönde etkileyen beyin temelli bir durum olarak tanımlanmaktadır. Durumun gelişimsel diskalkuli olarak ifade edilmesinin temelinde de kaza, hastalık, yetersiz öğretim gibi doğum sonrasında meydana gelen ve edinilmiş diskalkuli (acquireddyscalculia) olarak ifade edilen durumdan ayırt etmek amacını taşımaktadır.

Matematik öğrenme güçlüğü (MÖG) yaşayan bireyler, düşük matematik performansları nedeniyle zihinsel engelli ve düşük başarılı bireyler ile karıştırılmaktadırlar. Sanılanın aksine MÖG yaşayan bireyler ortalama ya da ortalamanın üzerinde bir zekâya sahiptirler. Ayrıca düşük başarılı bireylerin düşük matematiksel performansları yetersiz eğitim gibi farklı nedenler ile açıklanabilir iken MÖG yaşayan bireylerin düşük performansı daha çok beynin anatomik yapısı veya bilişsel süreç becerileri gibi durumlarla ilişkilidir.

MÖG yaşayan bireylerin toplumdaki yaygınlık oranı kullanılan kriterlerin farklılığı nedeniyle değişmekle beraber genel olarak %3.5 ile %6 aralığında olduğu araştırmacılar tarafından aktarılmaktadır(Butterworth, 2005). Diskalkuli yaygınlık oranı ile disleksi yaygınlık oranının benzerlik gösterdiği söylenebilir.

Buna karşın maalesef diskalkuli, disleksiye oranla hem araştırmacılar ve hemde toplum tarafından daha az ilgi görmüştür. Dikkatlerin üzerinde yoğunlaşması gereken bir diğer konu ise disleksiye sahip bireylerin neredeyse yarısı aynı zamanda MÖG yaşamasıdır. Acaba insanlar şunu mu düşünüyor “matematik soyut bir alan, öğrenilmesi güçtür bu nedenle bireylerin matematikte güçlük yaşaması, düşük başarılı olması kabul edilebilir bir durumdur’’. Değilse her şeyin dijitalleştiği günümüzde matematiğe okuma yazma kadar gereksinim duyulmakta ve günlük-mesleki ihtiyaçlarımızı karşılamak adına hayati bir önem taşımaktadır.

Diskalkulinin neden kaynaklandığına dair henüz üzerinde uzlaşılan bir tespit yoktur. Bununla beraber sayı çekirdek bilgisi veya sayı hissi olarak da ifade edilen,insan ve bazı hayvan türlerinde doğuştan mevcut olduğu iddia edilen tam sayı ve yaklaşık sayı olarak isimlendirilen sistemlerdeki yetersizlik ile bellek türlerinde yaşanılan problemler nedeniyle matematikte güçlük yaşandığını öne süren hipotezler mevcuttur.

MÖG yaşayan öğrenciler akranlarından farklı olabileceği gibi, kendileri gibi diskalkuli tanısı konmuş yaşıtlarından da birçok yönüyle farklı özelliklere sahiptirler. Hatta MÖG yaşayıp da özellikleri tıpatıp birbirine benzeyen iki tane çocuğun bulunamayacağı bile ifade edilmektedir. Özellikle farklı kriterler söz konusu olduğunda diskalkuliye sahip bireyler tümüyle kendilerine has güçlü ve zayıf profiller sergileyebilmektedirler (Dowker,2009). Diskalkuliye sahip bireylerin farklılıkları ile beraber bazı ortak özelliklerini aşağıdaki şekilde sıralamak mümkündür.

 

  • Sayıları kavrama sezgisinden yoksundurlar,
  • Sayı ile ilgili basit temel kavramları anlama güçlüğü yaşarlar,
  • Basit aritmetik işlemleri yapmada zorlanırlar,
  • Sözel problemleri çözmede güçlük yaşarlar,
  • Sayılarla işlem yapmada oldukça yavaştırlar,
  • Parmakla sayma gibi yaşıtlarının çoktan terk ettikleri stratejileri çok basit işlemlerde dahi yoğun bir şekilde kullanırlar,
  • Matematiksel dili kullanmayı güç bulurlar,
  • İşleyen bellek problemlerine sahiptirler,
  • Yüksek matematik kaygısına sahiptirler,
  • Zaman ve/veya mekân algıları zayıftır.

MÖG yaşayan bireylerin eğitim gidişatlarında hayati değerde önem arz eden en kritik aşama erken yaşta teşhis edilmeleridir. Zira öğrencinin daha karmaşık olan matematiksel kavramlarla karşılaşmadan ve güçlük yaşadığı konular birikmeden güçlü ve zayıf yönlerini betimleyen bir tanılama süreci doğru bir eğitsel müdahale açısından da önemlidir. Ancak ülkemizde hem MÖG yaşayan bireylerin tanılanmasında (Diskalkuli tarama aracı (Olkun ve diğ. 2012), Çoklu süzgeç modeli (Mutlu ve Akgün, 2016)) hem de eğitsel müdahale yöntemleri (Dokunsay matematik öğretim materyalleri) açısından yapılan çalışmaların bebeklik dönemlerini yaşadığı söylenebilir.

Şekil1. Dokun Say Sayı Tabletleri

MÖG yaşayan öğrencilerin matematik performanslarını arttırmanın en iyi yollarından biri matematiksel kavramları araştırma, anlama ve içselleştirme süreçlerini destekleyecek materyaller kullanmaktan geçer. MÖG yaşayan öğrencilerin özellikleri göz önünde bulundurulduğunda öğretimde somut materyal kullanmak neredeyse zorunluluk arz etmektedir.

Dokun Sayöğrenme araçları doğrudan MÖG yaşayan çocuklara temel aritmetik konularının öğretimiiçin tasarlanmıştır. Tasarımında özellikle Tam Sayı Sistemi (TSS) ve Sembole Erişim Hipotezi (SEH) ilkeleri temel alınmıştır. Materyaller sıralı stratejiyle (somut-yarısoyut-sembol) doğrudan öğretim yönteminin benimsendiği bir öğretim ortamında etkili sonuçlar vermektedir. MÖG yaşayan öğrencilere Dokunsay Tabletleri ile destek eğitimi verildiğinde akranları ile farkı kapatarak normal sınıflarında daha iyi öğrenebilir hale gelmektedirler. Aksi takdirde yetersizliklerin giderilmesine yönelik müdahalelerden yoksun olan bireyler, yaşamları boyunca işyerinden tutun modern dünyanın gündelik taleplerinin üstesinden gelmeye kadar birçok alanda güçlüklerle karşılaşabileceklerdir (Geary, 2011).


Kaynakça:

Butterworth, B. (2005). Developmentaldyscalculia. In J. I. D. Campbell (Ed.), Handbook of Mathematical Cognition. (pp.455-468). New York: Psychology Press.
Dowker, A. (2009). What works for children with mathematical difficulties? The effectiveness of intervention schemes. Research Report RR554. DfES Publications.
Geary, D. C. (2006). Dyscalculia at an early age: Characteristics and potential influence on socio-emotional development. Encyclopedia on early childhood development, 15, 1-4.
Mutlu, Y., & Akgün, L. (2017). Matematik öğrenme güçlüğünü tanılamada yeni bir model önerisi: Çoklu süzgeç modeli.İlköğretim Online,16(3), 1153-1173.
Olkun, S., Altun, A., Cangöz, B., Gelbal, S., veSucuoğlu, B. (2012). Developing Tasks for Screening Dyscalculia Tendencies: E-Leader, Berlin.

Prof. Dr. Zülbiye TOLUK UÇAR

Bolu Abant İzzet Baysal Üniversitesi

                                                                                                                                                                                                                     

     Araş. Gör. Figen BOZKUŞ

                                                                                                                                                                                                                   Kocaeli Üniversitesi


Öğrenciler sınıfa bir takım matematik bilgileriyle gelmektedir. Bu bilgiler öğrencilerin günlük hayattaki deneyimleri sonucu gelişen sezgisel bilgi ya da informal bilgi olmakla beraber, öğretim sürecinde öğrendikleri formal bilgiler de olabilir. Bu bilgiler aynı zamanda öğrencinin o ana kadar kendine özgü geliştirdiği düşünce birikimi olarak da ifade edilebilir. Bu düşünceler öğrencilerin matematiği öğrenmesinde yardımcı olabileceği gibi engel de teşkil edebilir. Öğretim sürecinde öğrencilere düşüncelerini kullanabilecek fırsatların verilmesi, öğrencilerin kendi düşüncelerini sorgulaması ve kendi matematiksel kavramlarını anlamlı ilişkiler üzerine kurabilmesi açısından değerlidir. Nitekim, matematik eğitimi üzerine yapılan akademik çalışmalar ve reform çalışmaları, etkili öğretim için öğretmenlerin öğrencilerin düşüncelerini dinlemeleri ve öğretim süreçlerinde kullanmalarının gerekliliğini vurgulamıştır (Ball, 1997; NCTM, 1991, 2000). Öğretim süreçlerinin öğrenci düşüncesi üzerine inşa edilmesi öğrenciler için zengin bir öğrenme ortamı sunmaktadır ve anlamlı öğrenmeyi desteklemektedir (Clarke, 2008; Sowder 2007). Dolayısıyla son yıllarda öğrenci düşüncesinin önemini vurgulayan çalışmalar yapılmaktadır (Doerr, 2006; Empson & Jacobs, 2008). 

Bu çalışmalarla birlikte, öğrenci düşüncesini öğretim sürecinin merkezine yerleştiren vebir profesyonel gelişim modeli olan öğretmen farkındalığı (teacher noticing) olarak yeni bir kavram ortaya çıkmıştır. Öğretmen farkındalığı, öğretmenlerin öğretim sürecinde önemli durumları fark edebilme becerileri olarak tanımlanırken, öğrenci düşüncesi bağlamında ise öğretmenlerin öğrenci düşüncelerine dikkat edebilmesini ve öğretimsel kararlarında kullanabilmesini içermektedir (Jacobs, Lamb & Philipp, 2010; Van Es & Sherin, 2002). Öğretmen farkındalığı bağlamında yapılan çalışmalar, öğretmenlerin öğrenci düşüncelerine nasıl dikkat ettiği ve öğretimsel kararlarında ne kadar yer verdiğini incelerken, aynı zamanda öğretim süreçlerini öğrenci düşünceleri üzerine inşa etmede araştırmacılara ve öğretmenlere yol göstermektedir (Choy, 2014; Fernandez, Llinares & Valls, 2012; Mcduffie, Foote, Bolson, Turne, Aguirre, Bartell, Drake & Land, 2014). Öğretmenlere öğretim süreçlerinde öğrencilerinin düşüncelerini hangi ölçüde dikkate aldıkları sorulduğunda pek çok öğretmen öğrencilerine konuşmaları için fırsat verdiğini ve onları dinlediklerini, dolayısıyla öğrencilerinin aktif olduğu bir öğretim yaptıklarını savunabilirler. Ancak yapılan çalışmalar, her hangi bir sınıf ortamında pek çok öğretmenin öğrencilerine yönelttikleri soruların cevaplarını, öğrencilerin matematiksel fikirlerini anlamak amacıyla değil, derste anlatılanları ya da gösterilen matematiksel bilgileri aynen tekrar edebildiklerini görmek için dinlediklerini ortaya koymaktadır (Black, Harrison, Lee, Marshall& Wiliam, 2004; Kawanaka & Stigler, 1999). Bu durum öğretmenlerin, öğrenci öğrenmesine daha sınırlı bir pencereden baktığını ve öğrencilerin matematiksel düşüncelerini göz ardı ettiğini akla getirmektedir. Bu nedenle, bu çalışmada ilgili literatürden yararlanarak öğretim süreçlerinde öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmaya yönelik öğretmenlerin neler yapabileceğine dair öneriler, sınıf için uygulamalarından örneklerle anlatılarak, öğretmenlere fikir oluşturulması sağlanacaktır.

Öğretmenlerin öğrencilerin ne gibi düşüncelere sahip olduğunu bilmesi ve bu düşünceler ile yeni kavramlar arasında bir köprü kurabilmesi etkili öğretimin en temel özelliklerindendir. Bu nedenle öğretmenin öğrenci düşüncesini temel alarakbir öğretim süreci planlaması önerilmektedir. Öğretmenlerin, öğretim süreçlerini öğrenci düşünceleri üzerine inşa edebilmesi için öncelikle bu düşünceleri ortaya çıkarması gerekmektedir. Ancak öğrenci düşüncelerinin ortaya çıkarılması ve öğretimin bu düşünceler doğrultusunda şekillendirilmesi öğretmenler için zor olabilmektedir. Öğretmenler, bazen öğrencilerimin düşüncelerini nasıl ortaya çıkarabilirim ya da bütün öğrencilerimin düşüncelerini tek tek sormam gerekir mi gibi sorular sorabilmektedir. Bu yönde yapılan bazı araştırmalar, öğretmenlerin öğrenci düşüncelerini nasıl ortaya çıkarabileceğine yönelik öğretmenlere rehber olabilecek yöntemler sunmaktadır. Bu araştırmalardan bir tanesi, Carpenter, Fennema ve Franke (1996), tarafından yapılmış ve araştırmanın sonucundan Bilişsel Temelli Öğretim (Cognitively Guided Instruction) olarak isimlendirdikleri bir model geliştirilmiştir. Bu model, boylamsal bir çalışmanın sonucu olup, öğretmenlerin öğrenci düşünceleri hakkında bilgi edinmeleri ve bu bilgileri öğretimsel uygulamalarında nasıl kullanabileceğine dair öğretmenlere ve biz araştırmacılara yol gösteren gerçek sınıf ortamlarından örnekler sunmaktadır. Bir başka model ise Fraivillig, Murphy ve Fuson (1999) tarafından geliştirilen, Çocukların Düşünmesini Geliştirme Modeli (Advancing Chidren’s Thinking [ACT]) olup, bu model ise sınıf içi uygulamalarında öğrencilerin matematiksel düşüncelerinin nasıl geliştirileceğine dair öğretimsel uygulama örnekleri sunarak, öğretmenlerin neler yapabileceğine yönelik bir pedagojik çerçeve sunmaktadır. On sekiz başarılı öğretmenin derslerinin 5 yıl süreyle gözlemlenmesiyle geliştirilen ACT modeli, bu öğretmenlerin öğrencilerinin matematiksel düşüncelerini derslerinde kullanırken geliştirdikleri stratejileri ortaya çıkarmıştır. Bu bağlamda öğretmenlerin derslerini karakterize eden birbirinden ayrı, fakat aynı zamanda kesişen 3 temel bileşen ortaya çıkmıştır. Bu bileşenler, öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarma, destekleme ve geliştirme olarak tanımlanmıştır. Bu çalışmada ise ACT modelinin öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarma bileşenine ilişkin öneriler ve Bilişsel Temelli Öğretim modelinin ise sınıf içi uygulamalarındaki örneklerinden yararlanılarak, öğretmenlerin öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için neler yapabileceklerine dair bilgiler verilecektir.

Öğrenci Düşüncesini Ortaya Çıkarma

Matematik öğretimini öğrencilerin matematiksel düşüncelerinin üzerine inşa etmenin ilk adımı bu düşünceleri ortaya çıkarmaktır. Fraivillig ve arkadaşları (1999), başarılı öğretmenlerin öğrencilerinin matematiksel düşüncelerini ortaya çıkarırken kullandıkları stratejileri belirlemiştir. Bu stratejileri inceleyelim.

Bir probleme yönelik olabildiğince birçok çözüm yolu ortaya çıkarma: Verilen bir problemin çözümüne ilişkin, öğrencilerden birden fazla çözüm yolu üretmeleri istenebilir. Ardından, öğrencilerden kendi çözüm yollarını açıklamaları istenerek, kullandıkları stratejiler vedüşünceleri üzerine sınıf tartışması başlatılabilir. Öğrenci düşüncelerine dayalı yapılacak sınıf tartışması, öğrencilerin kendi matematiksel düşünceleri arasında iletişim kurmak ve düşüncelerini anlamlı hale getirmek için de iyi bir fırsattır. Öğretmenler burada önce genel sorularla başlayabilir ardından spesifik sorularla öğrencilerden düşüncelerini detaylı ve ayrıntılı bir şekilde anlatması istenilebilir. Genel sorular olarak şu sorular sorulabilir:

  • Bu problemin çözümünde farklı bir yol kullanan var mı?
  • Ahmet’in çözümünden farklı bir çözüm yolu kullanan var mı?
  • Bu sorunun çözümünde farklı bir yol kullanılabilir mi?

Şeklindeki sorular öğrencileri kendi düşüncelerini paylaşmaları konusunda cesaretlendirebilir.

Öğrenci çözüm yolunu açıklarken, açıklamasının sonuna kadar bekleme ve dinlenme: Öğrenci çözümünü açıklarken,öğretmen öğrenciyi dinlemeli ve müdahale etmeden açıklamasını bitirmesi beklenmelidir. Benzer şekilde, sınıfın da arkadaşlarının çözümünü dinlemeleri beklenmelidir. Öğrenciye yeterince zaman vermek ve açıklamalarını dinlemek, öğrenciye düşünerek cevap vermenin, hızlı bir cevaptan daha değerli olduğunu hissettirecektir. Ayrıca öğretmen, öğrencilerin düşünceleri doğru olmasa bile, bu yöndeki çabalarını takdir ederek düşüncelerinin değerli olduğunu hissettirmelidir.
Öğrencileri düşüncelerini/cevaplarını ayrıntılı bir şekilde açıklamaya teşvik etme: Öğrenciler düşüncelerini bazen daha yüzeysel açıklayabilirler. Öğretmen öğrencinin ne demek istediğini anlasa bile diğer öğrenciler için anlatılmak istenen açık olmayabilir. Bu durumlarda öğretmenin öğrencilerin düşüncelerini daha detaylı açıklaması için ek sorular sorması gerekebilir ya da öğrencinin daha iyi ifade etmesine yardımcı olabilir.

Öğrencilerin açıklamaları kullanılarak dersin içeriğini şekillendirme: Öğrencilerin açıklamaları sınıf tartışması başlatmak için iyi bir referans noktasıdır. Öğretmen, öğrencilerin sorularını, çözüm yollarına ilişkin açıklamalarına ve düşüncelerine bağlı olarak dersin içeriğini biçimlendirebilir. Örneğin; bir problem çözümüne yönelik öğrencilerden gelen farklı çözümler tahtaya liste halinde yazılabilir ve böylece bütün çözümler diğer öğrenciler tarafından görülebilir. Ders bu çözümler üzerinden öğretmenin soruları ile devam edebilir. Böylece, üzerine çalışılan kavram ya da matematiksel düşünce derinleştirilebilir.

Öğrencilerin hatalarına ve problem çözme çabalarına yönelik tutumlarına olumlu yaklaşma: Öğretmen öğrencilerin kendi düşüncelerini rahat bir şekilde ifade edebilmesi için hatalara açık olmalıdır ve bu yöndeki çabalarını takdir etmelidir.Öğretmenler problem sonrasında öğrencilere sordukları sorular ile “en iyi” cevabı ya da istediği cevabı bulmaya çalışırlar;ancak bu yaklaşım öğrencilerin düşüncelerini açıklamaları yönünde de motivasyonlarını kırabilir. Burada önemli olan öğrencinin doğru çözümü bulması ya da doğru cevabı bulması değil öğrencinin matematiksel düşüncesidir. Öğrencilerin hataları “öğrenme fırsatları” olarak görülmelidir. Dolayısıyla öğrencilere, hata yapsalar bile çabalarının değerli olduğu hissettirilmelidir.

Öğrencileri birlikte problem çözmeye teşvik etme: Öğretmen öğrencileri birlikte çalışmaya teşvik etmelidir. Öğrencilerin grup halinde çalışması, öğrencilerin katılım açısından daha istekli olmasını hem de grup olarak daha zengin düşünceler üretmeleri için öğrencileri cesaretlendirecektir. Böylece öğrenciler kendi düşüncelerini paylaşmak için daha istekli olabilir.

Hangi öğrencilerin konuşmak için fırsata ihtiyacı olduğuna veya hangi stratejilerin tartışılması gerektiğine karar verme: Öğretmen ders boyunca sürekli öğrencileri gözlemlemelidir. Özellikle öğretmen, öğrencilere problem çözümü için zaman verdiğinde, öğretmen sınıf içinde gezinebilir ve öğrencilerin neler yaptığını takip edebilir. Bazen öğrenciler desteğe ihtiyacı olduğunu sözel olarak söylemeyebilir, bu durumu öğretmenin fark etmesi ve gereken desteği vermesi gerekebilir. Diğer yandan, öğretmen sınıf içinde gezinirken güzel bir düşünce fark ettiğinde (öğrenci çözümü, ileri düzey düşünce ya da strateji) o öğrenciyi konuşmaya teşvik ederek, paylaşılan düşünce üzerine sınıf içi tartışması oluşturabilir. Böylece konuşmak isteyen öğrencilere de fırsat verebilir. Bazen de öğrencilerin sıklıkla düştükleri yanılgıları belirleyebilir ve bunları tartışmaya açabilir.

Öğretmenler, öğretim süreçlerinde öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için yukarıda belirtilen stratejileri kullanabilirler.Peki bu stratejileri dikkate alırken, öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için ne gibi sorular sorulabilir? Bu sorunun cevabı için, her daim kullanılabilecek bir soru listesi ya da en iyi sorulardan bahsedilemez. Öyle ki öğrencilerden gelen cevaplara göre sorulan sorular değişebilir. Ancak, “Nasıl çözdüğünü bana anlatabilir misin?” sorusu öğrenci düşüncelerinin temel alındığı öğretim süreçlerinin önemli bir bileşenidir. Bu soru farklı şekillerde de ifade edilebileceği gibi bu sorunun temelinde öğrencinin matematiksel düşüncesini açıklaması fikri vurgulanmaktadır. Bu sorunun yanı sıra öğrenci düşüncesini anlama yolunda, daha spesifik olarak öğrencilere “Ne yaptın?”,“Neden yaptın?”, “Buna nasıl karar verdin?”ya da “Bana stratejini anlatabilir misin?” gibi öğrencinin problem çözümündeki stratejisini açıklaması için farklı sorular üretilebilir. Öğrenciye yöneltilen spesifik sorular öğrencilerin kendi stratejilerindeki detaylar üzerine düşünmesi için onları desteklemektedir. Daha somut olarak ifade etmek gerekirse, bu yazının devamından gerçek sınıf ortamından elde edilmiş, öğrenci cevaplarının ortaya çıkarılmasını amaçlayan öğretmen – öğrenci dialoglarından kesitler paylaşılacaktır.


Öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarmaya yönelik sınıf içi örnek durumlar

Çalışmanın bu bölümünde, Carpenter, Fennema, Franke, Levi ve Empson (2015), tarafından Bilişsel Temelli Öğretim modelinin uygulandığı, ilkokulun farklı sınıf seviyelerinden elde edilmiş örnek durumlar paylaşılacaktır. Bu durumlar, farklı öğrencilerin problem çözümlerini açıklamalarının ardından öğretmenin takip soruları ile düşüncelerini ortaya çıkarması, farklı iki öğrencinin doğru ve yanlış cevabına ilişkin öğretmen sorgulaması ve bir öğrencinin yazılı çözümü üzerinden öğrenci düşüncesini ortaya çıkarmayı içeren dört farklı örnekten oluşmaktadır. 

Öğrencinin problemi çözmesinin ardından takip sorularıyla öğrenci düşüncesini ortaya çıkarma:

Öğrenciler verilen problemleri çözdükten sonra,kullandıkları stratejileri ayrıntılı bir şekilde açıklamaları için bazen tek bir soru yeterli olmayabilir. Bu durumda, ek sorular ile öğrenciye ne yaptığını anlatma fırsatı verilmelidir. Bu yönde aşağıda, bir birinci sınıf öğrencisinin (Elif) çözümü üzerine öğretmeni ile gelişen dialog verilmiştir

Problem: Ahmet’in 8 tane kum kovası vardır. Abisi, Ahmet’e 11 tane daha kova getirmiştir. Son durumda Ahmet’in kaç kovası olmuştur?
Öğretmen: Elif, problemi nasıl çözdün?
Elif: Ben 8 ve 11’i saydım.
Öğretmen: Anladım, 8 ve 11’i saydın. Peki 8’i nasıl saydığını anlatabilir misin?
Elif: Küplerimi kullandım ve önce 1,2,3,4,5,6,7,8 saydım ve daha sonra 1, 2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11 saydım ve 19 elde ettim.
Öğretmen: Sen önce 8 küp saydın ve daha sonra 11 küp saydın. 19’u elde etmek için küpleri nasıl kullandın?
Elif: 8 küp saydım (eliyle küpleri göstererek 8’e kadar sayıyor), 9, 10,11,12,13,14,15,16, 17, 18, 19 (kenara ayırdığı 11 küpü işaret ederek sayıyor).

Yukarıda verilen dialogda görüldüğü üzere öğretmen takip soruları ile Elif’in problemi çözerken nasıl bir yol izlediğini anlamaya çalışıyor. Öğretmen sorduğu sorular ile,Elif’in 8 ve 11’i toplarken, 8 sayısını ya da 11 sayısını nasıl düşündüğünü ve bu sayıları nasıl topladığına dair adım adım düşünce süreçlerini öğreniyor.Burada, öğretmen Elif’in üzerine sayma stratejisini kullandığını fark ediyor. Nitekim Elif aynı cevabı bulabilecek farklı stratejiler de kullanabilirdi.Öğretmen burada sorduğu takip soruları ile Elif’in kendi çözüm sürecinin detaylarını açıklaması için fırsat verirken aynı zaman da sınıftaki diğer öğrencilerin de stratejisindeki her aşamayı duymasını sağlamıştır.

Bir başka örnekte ise bir 5.sınıf öğrencisinin çözümü ele alınmıştır. Burada öğretmen kesirlerle ilgili bir soru sormuş ve bir öğrenciden problem çözümünü sınıfla paylaşmasını istemiştir. Öğretmen öğrencinin her adımda ne yaptığını ve ne düşündüğünü ortaya koymak için sorular sormuştur. Öğretmenle gelişen dialog şöyledir.

Problem: Şule öğretmenin sınıfındaki her öğrenci bir dönem boyunca, bir paket kalemin ¾’ünü kullanmaktadır. Sınıfta 12 öğrenci olduğuna göre, toplam kaç paket kaleme ihtiyaç vardır?

Öğretmen: Esra, problemi nasıl çözdün? Çözümünü bizimle paylaşmak ister misin?
Esra: İlk önce, iki öğrencinin bir paketteki kalemlerin ½’sini kullandığını buldum. Çünkü ¾ve ¾‘ü toplayınca 1 tam ½eder.
Öğretmen: Peki söylediğinin matematik cümlesi şu şekilde ifade edilebilir mi?
Esra: Evet.
Öğretmen: İki tane ¾‘lük kısmın 1 tam ½olduğunu söyledin. İşlemlerinin devamında ne yaptın?
Esra: Daha sonra bulduğum sayıyı iki ile çarptım. Yani, 2 öğrenci 1 tam½paket ise, 4 öğrenci 3 paket kalem kullanır. Bu nedenle 4 öğrenciye karşılık 3 paket kalem yazdım.
Öğretmen: Peki söylediğin ifadenin matematik cümlesini yazabilir miyiz?
Esra: Evet. Biraz önce yazdığınız eşitliğe benziyor ama bu sefer elimizde 4 tane¾’lük kısım 3’e eşit.
Öğretmen: Eşitliği tahtada bize yazabilir misin?
Esra: Tabi ki. 2 x ¾=1 tam ½ 4x¾=3
Öğretmen: Peki devamında nasıl ilerledin?
Esra: Bu durumda 8 öğrenci de 6 paket kalem kullanır.
Öğretmen: Yani her öğrenci kaç tane kalem alacak?
Esra: Paketin 3/4'ü kadar.
Öğretmen: Yani her öğrenci paketteki kalemlerin ¾'ünü kullanırsa, 8 öğrenci 6 paket kalem kullanır?
Esra: Evet doğru.
Öğretmen: Peki bu eşitliği gösterebilir misin?
Esra: Emin değilim.
Merve: Ben yazabilirim. (Tahtaya gelir ve eşitliği yazar)
Öğretmen: Merve’nin yazdığı eşitlik hakkında ne düşünüyorsun?
Esra: Muhtemelen doğru.
Öğretmen: Peki daha sonra ne yaptın?
Esra: Burada tekrar 2 ile çarptım. Yani 8 öğrenci 6 paket kalem kullanıyorsa, 16 öğrenci 12 paket kalem kullanır. Ama çok öğrenci oldu, biraz kafam karıştı.
Öğretmen: Söylediğini şu şekilde yazabilir miyiz?
Esra: Evet ama çok öğrenci oldu. 8 öğrenci 6 paket kalem kullanır. Oradan devam edersek 12 öğrenci olması için 4 öğrenciye ihtiyacım var. Daha önce 4 öğrencinin 3 paket kalem kullandığını bulmuştum, toplarsam 12 öğrenci 9 paket kalem kullanır.
Öğretmen: Yani şöyle yazabilir miyiz? (4x¾=3, 8x¾=6)
Esra: Evet. ¾’lük 4 grup ve ¾'lük 8 grup olarak düşündüm ve ¾'lük12 grup oluyor. Toplamda 9 paket kaleme ihtiyacımız var.

Yukarıdaki dialogda görüldüğü üzere, öğretmen öğrenciden çözüm sürecinde nasıl düşündüğünü ve neler yaptığını adım adım anlatmasını isterken, öğrenciye de kendi yaptıkları üzerine düşünme fırsatı vermektedir. Böylece öğrenci kendi bilgilerini sorgulayarak anlamasını derinleştirirken, sınıf arkadaşlarının da anlamasına katkı sağlamaktadır. Bunun yanı sıra öğretmen öğrencinin adımlarını matematik cümlesi şeklinde tahtaya yazarak öğrencilerin informal düşünmeleri ile formal matematiksel bilgi arasında bir köprü kurmaktadır.

Burada takip sorularının öneminin bir kez daha vurgulanmasına ihtiyaç vardır. Çünkü öğrencilerin açıklamaları ardından sorulan takip soruları, sadece öğretmenin ve diğer öğrencilerin, bir öğrencinin düşüncesine ilişkin daha fazla bilgi edinmesini sağlamaz aynı zamanda o öğrencinin de kendi düşünceleri üzerine yoğunlaşmasını sağlar. Böylece düşünceleri arasında ilişkilendirme yapmasını ve matematiksel anlamasını destekler.Bu nedenle takip sorularının hem öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarılması da hem de geliştirilmesinde önemli bir rolü olduğunu söyleyebiliriz.
Öğrencinin çözüm yolu tamamlanmamış ya da yanlış olduğunda öğrenci düşüncesini ortaya çıkarma:

Öğrencilerin çözümlerini ya da stratejilerini açıklamaları gözlemlendiğinde, öğrencilerin bazen kendi stratejilerinden ya da çözümlerinden emin olmadıkları görülebilir. Bu durumda öğrenciler daha çekingen davranabilirler. Nitekim öğrencilerin düşüncelerini ya da fikirlerini paylaşmamalarının arkasındaki nedenlerinden biri de düşüncesinin yanlış olma ihtimalidir. Dolayısıyla öğretmenler böyle bir durumda, öğrencileri düşüncelerini paylaşmaları için cesaretlendirmelidir.Örnek olarak aşağıda, Ahmet ile öğretmeni arasında geçen dialog verilmiştir.

Problem: Hasan’ın 30 tane bilyesi vardı. Annesi, Hasan’a 23 bilye daha verdi. Hasan’ın toplamda kaç bilyesi vardır?
Öğretmen öğrencilerin çözümlerini incelerken, Ahmet’in problem çözümünü tamamladığını ve cevabını 33 bulduğunu gözlemlemiştir. Ahmet’in cevabı doğru değildir ve öğretmen öğrencinin düşüncesini anlamak için bazı sorular sormuştur. Ahmet’in çözümü Şekil. 1’de verilmiştir.

Şekil 1. Ahmet’in çözümü
Öğretmen: (Öğrencinin çözümünü işaret ederek) Burada ne düşündüğü söyleyebilir misin?
Ahmet: (Öğrenci daire içine aldığı sayıları göstererek) 10.
Öğretmen: Evet 10.
Ahmet: 10 artı, 10 artı, 10 artı, 3 artı eşittir 33 eder.
Öğretmen: 33 bilye elde ettin. Peki soruyu tekrar birlikte okuyalım mı? (Öğretmen ve Ahmet sesli olarak soruyu tekrar okur. )
Öğretmen: Öncelikle bana Hasan’ın 30 bilyesini gösterebilir misin?
Ahmet: (Ahmet daire içine aldığı 3 tane 10’luk grubu gösteriyor.)
Öğretmen: Hadi bunları sayalım.
Ahmet: (Öğretmenle birlikte). 10, 20 ve 30.
Öğretmen: Peki, annesi kaç bilye daha vermişti?
Ahmet: Bunlar. (Onluk blokların altına çizdiği 3 yuvarlık şekli gösteriyor.)
Öğretmen: Annesinin verdiği bilyelerinin sayısını söyleyebilir misin?
Ahmet: 23.
Öğretmen: Peki, senin çözümüne 23 bilye nerede olduğunu gösterebilir misin?
Ahmet: (Öğrenci yine 3 şekli gösteriyor.)
Öğretmen: Bunları benim için sayabilir misin?...
Ahmet: 10, 20, 21 (Öğrenci gösterdiği iki şekli 10’luk olarak sayıyor ve diğer şekli 1’lik olarak sayıyor.)

Yukarıda verilen dialogda öğrencinin çözümü anlaşılır değil ve öğretmen öğrencinin bu çözümünün arkasındaki düşüncelerinin ne olduğunu anlamaya çalışıyor. Bunun için öğretmen öğrencinin adım adım ne yaptığını anlatmasını istiyor. Öğrenci çözümünü anlatırken, öğretmen öğrenciyi dinliyor ve stratejisine yönelik açıklamalarını gözlemliyor. Öğrencinin verdiği cevap doğrultusunda spesifik sorular yönelterek, cevabını daha ayrıntılı açıklamasını istiyor. Öğretmen öğrencinin ne düşündüğünü daha iyi anlamak için problemi tekrar birlikte okuyorlar ve yaptığı işlemlerde problemde verilenleri nasıl ilişkilendirdiğini sorguluyor. Yaptığı sorgulama sonucunda öğretmen, Ahmet’in çizdiği şekilleri bazen 10’luk olarak aldığı bazen de 1’lik olarak saydığını fark ediyor. Burada dikkat çekilen nokta, öğrencinin çözümü ya da düşüncesi doğru olmayabilir ancak onların neyi nasıl düşündüğünü anlamak için onlara kendilerini açıklama fırsatı verilmelidir ve öğretmenler bu yönde öğrencileri cesaretlendirmelidir.

Öğrencilerin yazılı cevaplarından öğrenci düşüncesini ortaya çıkarma:
Öğrencilerin defterlerine yazdıkları çözümleri kullanılarak yukarıda bahsedilen stratejilere benzer yaklaşımlarla öğrencilerin düşünceleri ortaya çıkarılabilir. Burada, ikinci sınıf düzeyinde farklı iki öğrencinin doğru ve yanlış çözümlerinden yola çıkarak öğretmenin öğrenci düşüncelerini anlamak için sorduğu sorular ve bunu takiben aralarında gelişen diaolog sunulacaktır.
Problem: Melis’in 28 tane oyun kartı vardır. Annesi, Melis’e doğum günün de biraz daha kart vermiştir ve Melis’in 61 tane oyun kartı olmuştur. Annesi Melis’e kaç tane oyun kartı vermiştir?
Bu soruya ilişkin, Deniz’in çözümü ve öğretmenle arasında geçen dialog şöyledir;

Şekil 2: Deniz’in çözümü
Öğretmen: Deniz, oyun kartlarının sayısını bulmak için ne yaptığını anlatabilir misin?
Deniz: Annesi 33 tane oyun kartı vermiştir.
Öğretmen: Anladım. Burada (çözümü göstererek) 28, 38, 48 yazdığını görüyorum. Bunların anlamı nedir?
Deniz: Saymaya 28’ten başladım.
Öğretmen: Peki, buraya yazdığın 10 sayıları nedir?
Deniz: (28’i göstererek), 28’den 38’e 10 var, 38’den 48’e 10 var, 48’den 58’e 10 var ve daha sonra ben 59,60,61 şeklinde saydım ve 3 elde ettim.
Öğretmen: 3’ü nasıl bulduğunu anladım. Ancak 30 sayısı nereden geldi?
Deniz: 10, 10 ve 10 topladım 30 olur.
Öğretmen: Güzel.
Deniz’in cevabından farklı olarak, aynı soruyu Engin de çözmüştür (bknz: Şekil 3)ancak Engin’in cevabı doğru değildir. Bunun üzerine öğretmen Engin’in çözümünü inceleyerek, ne yaptığını anlamaya çalışmıştır.

Şekil 3: Engin’in çözümü
Öğretmen: (Cevaptaki 28’i göstererek) Buraya 28 yazdığını görüyorum. Burada 28 sayısı ile ne yaptığını anlatabilir misin?
Engin: 28’den saymaya başladım.
Öğretmen: 28’in üzerine saymaya başladın. Peki nasıl saydığını anlatabilir misin?
Engin: 29,30,31 …..61 (defterindeki çizgileri göstererek sayıyor).
Öğretmen: Anladım. Peki 34’ü nasıl elde ettin?
Engin: (çizgileri ve sayıları işaret ederek) 5,10,15,20,25,30,31,32,33.. (düşünüyor) aaa 33 tane.
Öğretmen: Yani annesi 33 oyun kartı verdi. Çizgileri grupladığını görüyorum, peki kaç tane 5’lik grup oluşturdun?
Engin: (5’lik grupları sayarak) 1, 2, 3 , 4, 6. 6.
Öğretmen: 6 tane 5’lik grup. Peki 10’luk kaç grup vardır?
Engin: (2 tane 5’lik grubu işaret ederek), 1 (diğer 2 tane 5’lik grubu işaret ederek) 2, (diğer 2 tane 5’lik grubu işaret ederek) 3.

Burada, öğretmen Engin’den, yaptığı işlemleri vestratejisini sözel olarak anlatmasını istiyor. Engin kendi çözümü anlatırken aslında kaçırdığı noktayı fark ediyor ve doğru sonuca söylüyor. Engin, çözüm sürecinde kendisi için daha kolay olan 5’lik gruplar oluşturmuştur ama aynı zamanda öğretmenin soruları ile 10’lu gruplar halinde de sayabildiğini göstermiştir. Öğretmen sorduğu sorular ile Engin’e stratejisini yansıtmasını sağlarken, 10’lu gruplar üzerine de düşünmesini sağlayarak kendi düşüncesini geliştirmesi için bir fırsat vermiştir. Bu örnek durumda da olduğu gibi, eğer öğretmen sadece öğrencinin bulmuş olduğu sayısal cevaba odaklanmış olsaydı öğrencinin matematiksel anlamasındaki zenginliği kaybetmiş olacaktı. Oysaki öğrenci beşerli ve onarlı gruplamayı anlamış olmasına rağmen sayma işleminde hata yaptığı için yanlış sonuç bulmuştur. 

Yukarıdaki her iki örneğe de bakıldığında, öğretmen öğrencilerin matematiksel açıklamalarını dinlemiş ve öğrencilerin stratejilerindeki detayları ortaya çıkarmak için öğrenciden duyduklarını ve gördüklerini kullanarak takip soruları sormuştur. Öğretmenin sorduğu sorular, öğrencilerin yapmış olduğu ek açıklamalarla kullandıkları stratejilerin daha iyi anlaşılmasını sağlarken, bazen de stratejilerin altında yatan matematiksel düşüncelerin anlaşılmasına yardımcı olmuştur.Diğer yandan, öğrencilerin yazılı çözümlerini, sözel olarak da ifade etmeye çalışması, öğrencilerin matematiksel düşünceleri sentezlemesi ve ilişkilendirmesi yolunda onlara fırsat vermektedir. Dolayısıyla bu şekilde öğrenci düşüncesini anlamaya çalışmak sadece öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için değil aynı zamanda öğrencilerin matematiksel anlamalarını desteklemek adına da değerlidir.

Diğer yandan, bazı durumlarda öğretmen takip soruları sormasına rağmen ilk başta öğrenci cevap vermede isteksiz olabilir. Öğrencinin cevap vermemesi, öğrencinin herhangi bir düşüncesinin ya da stratejisi olmadığı anlamına gelmez. Bazen öğrenci öğretmenin ne duymak istediğini bilmeyebilir ve yanlış cevap verme korkusuyla endişelenebilir. Eğer öğrenci soru sorulduğunda cevap vermiyorsa, öğrenci düşüncesini ortaya çıkarmak için öğretmen farklı bir yaklaşım geliştirebilir. Peki bu yaklaşımlar neler olabilir? Örneğin, öğrenci cevabını yazdıysa ya da somut bir materyal kullandıysa, öğrenciden ne yaptığını göstermesi istenilebilir. Ya da bir diğer seçenek olarak, öğrenciye, problemi çözerken ya da diğer öğrencilere problemi çözerken izlediği adımlarda neler yaptığı sorulabilir. Örnek olarak, öğrenciye şöyle sorular yöneltilebilir:

  • Burada 28 yazdığını görüyorum. 28 sayısını kullanarak mı başladın?
  • Neden 28 sayısını kullanarak başladın?
  • Problemi çözerken ilk olarak ne yaptın? Ya da ne düşündün?
  • Sayarken herhangi bir şey kullandın mı? Küp, kalem gibi.. Kullandıysan bunlarla ne yaptığını anlatabilir misin?

Bazı durumlarda ise öğrenciler, kullandıkları stratejileri yeterince açıklayamayabilirler. Bir başka ifadeyle, öğrencilerin sözel ifade etme becerileri matematiksel açıklamalarını destekleyecek şekilde yeterince gelişmemiş olabilir ya da öğrenciler geliştirdikleri çözüm yolunu tam anlamamış olabilirler ve çözümünü matematiksel olarak açıklayamayabilirler. Bu durumda, öğrencileri daha zor stratejilere yönlendirmek mantıklı olabilir. Çünkü basit stratejilerin açıklamalarını yapmak daha kolay bir iştir. Dolayısıyla öğrencilerin sözel ifade etme ve matematiksel dili kullanma becerilerini geliştirmek adına onları zorlayan stratejilere yönlendirme ve bu stratejileri anlamlandırmaları sağlanabilir.

Öğrencilerin matematiksel düşüncelerini desteklemek için öğrenci düşüncesini ortaya çıkarma
Öğrencilerin matematiksel düşüncelerini desteklemek ve geliştirmek için, önce öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarmalıdır. Nitekim öğretmenlerin, öğretim sürecini öğrenci düşünceleri üzerine inşa edebilmesi için öğrencilerin ne düşündüğünü bilmesi gerekir. Ancak bu üç beceri kendi içinde hiyerarşik ilerlerken aynı zamanda iç içe geçmiş bir bütün olarak düşünülmelidir. Örneğin, öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarma süreci, öğretmenin öğrencilere düşüncelerini açıklamak için sorduğu sorular ile başlar. Bu süreçte öğretmenin ilgili öğrenciye sorduğu sorular diğer öğrencilerin de kendilerini sorgulamasına yönlendirirken, öğrencinin söylediği açıklamalar ise başka öğrenci için yeni bir düşünce ya da yani bir bilgi olabilir. Bu durumda, diğer öğrenciler yeni öğrendiği düşünceyi kendi düşüncesini geliştirmek için kullanabilirler ve kendi matematiksel anlamalarıını oluşturabilirler. Dolayısıyla, öğretmenin öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için gösterdiği çaba aynı zamanda öğrencilerin düşüncelerini geliştirme adına önemli bir fırsattır.

Özetle söylemek gerekirse, verilen örneklerle öğretmenlerin öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için ne gibi sorular sorabileceğine ve ne gibi yöntemler izleyebileceğine dair fikir oluşturulmaya çalışılmıştır. Carpenter ve arkadaşları (2015),öğretmenlerin öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmak için belirli ilkelerden bahsetmiştir ve bu ilkeler öğretmenlere de öğretim süreçlerinde yol gösterecek niteliktedir. Çalışmanın buraya kadar anlatılan kısmı bu ilkelerle özetlenebilir ve öğretmenler öğrenci düşüncelerini ortaya çıkarmada bu ilkeleri takip edebilir:

  • Öğrencileri matematiksel düşüncelerini, stratejilerini ya da çözümlerini paylaşmaya cesaretlendirme,
  • Her öğrencinin öğretmenle ya da arkadaşlarıyla düşüncelerini paylaşması için bir yol bulma ve sorgulama yapma,
  • Öğrencilerin ne paylaştığına ya da ne yaptığına dair büyük resmi görmek için takip soruları sorma,
  • Öğrencileri stratejilerindeki ayrıntılar üzerine düşünmeleri için destekleme,
  • Öğrencilere doğru, doğru olmayan ya da tamamlanmamış stratejiler sunma ve üzerine sorular sorma,
  • Öğrencilerin kendi stratejilerini ya da yeni bir strateji kullanmada hazır olduklarını görmek için öğrencileri gözlemleme,
  • Dinleme ve gözlem yapma,
  • Kendi düşüncelerinizi ya da çözüm yolunuzu öğrencilere dayatmaktan kaçınma.

Kaynakça

Ball, D. L. (1997). Developing mathematics reform: What don’t we know about teacher learning—but would make good working hypotheses? In S. Friel & G. Bright (Eds.), Reflecting on our work: NSF teacher enhancement in K-6 mathematics (pp. 77-111). Lanham, MD: University Press of America.
Black, P., Harrison, C., Lee, C., Marshall, B., & Wiliam, D. (2004). Working inside the black box: Assessment for learning in the classroom. Phi delta kappan, 86(1), 8-21.
Carpenter, T.P., Fennema. E.,& Franke, M.L. (1996). Cognitively Guided instruction: A knowledge base for reformn in primnary mathematics instruction. ElementarySchool Journal, 97(1), 1-20.
Carpenter, T.P., Fennema, E., Franke, M. L., Levi, L., & Empson, S. B. (2015). Children’s mathematics: Cognitively guided instruction (2nd ed.). Portsmouth, NH: Heinemann.
Choy, B. H. (2014). Noticing Critical Incidents in a Mathematics Classroom. Mathematics Education Research Group of Australasia.
Clarke, B. (2008). A framework of growth points as a powerful teacher development tool. In D. Tirosh & T. Wood (Eds.), The international handbook of mathematics teacher education (Vol. 2, Tools and processes in mathematics teacher education, pp. 235–256). Rotterdam: Sense Publishers.
Doerr, H. M. (2006). Examining the tasks of teaching when using students' mathematical thinking. Educational Studies in Mathematics, 62(1), 3-24.
Empson, S. B.,& Jacobs, V. R. (2008). Learning to listen to children’s mathematics. In
D. Tirosh & T. Wood (Eds.), Tools and processes in mathematics teacher education (pp. 257-281). Rotterdam: Sense.
Fernández, C., Llinares, S., & Valls, J. (2012). Learning to notice students’ mathematical thinking through on-line discussions. ZDM, 44(6), 747-759.
Fraivillig, J. L., Murphy, L. A., & Fuson, K. C. (1999). Advancing children's mathematical thinking in Everyday Mathematics classrooms. Journal for Research in Mathematics Education, 30, 148–170.
Jacobs, V. R.,Lamb, L. L. C. & Philipp, R. A. (2010). Professional noticing of children’smathematicalthinking. Journal for Research in MathematicsEducation, 41(2), 169–202.
Kawanaka, T., & Stigler, J. W. (1999). Teachers’ use of questions in eighth-grade mathematics classrooms in Germany, Japan, and the United States. Mathematical Thinking and Learning, 1, 255–278.
McDuffie, A. R., Foote, M. Q., Bolson, C., Turner, E. E., Aguirre, J. M., Bartell, T. G., ... & Land, T. (2014). Using video analysis to support prospective K-8 teachers’ noticing of students’ multiple mathematical knowledge bases. Journal of Mathematics Teacher Education, 17(3), 245-270.
National Council of Teachers of Mathematics (1991). Professional standards for teaching
mathematics. Reston, VA: Author,
National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author.
Sowder, J. (2007). The mathematics education and development of teachers. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 157–223). Charlotte, NC: Information Age Publishing & National Council of Teachers of Mathematics.
Van Es, E. A. & Sherin, M. G. (2002). Learning tonotice: Scaffolding new teachers
interpretations of classroom interactions. Journal of Technology and Teacher Education,
10(4), 571-595.

 

 

 

Sare ŞENGÜL


Sayı hissi nedir? Müfredatta çok duyduğumuz bir kavram değil sanırım. Biz sayıları bilmiyor muyuz? ki bir de histen bahsedilmektedir. Evet, yazımızda bu kavramı birlikte tanıyacağız. Matematik öğretmeni öğrencilerine “0,485×28=1328 işleminin sonucunda virgül nereye konmalıdır” sorusunu sorduğu zaman birçok öğrenci “ilk çarpanda virgülden sonra 3 basamak vardır, o nedenle sonuçta da virgülden sonra 3 basamak olmalıdır” şeklinde düşünerek 1,358 sonucuna vermişlerdir. Bu soru bize de sorulsaydı aynı cevabı birçoğumuz da verirdik çünkü bizde öyle öğreniyoruz. Fakat bazı öğrencilerin 0,485 sayısının 0,5 yani yarıma çok yakın bir sayı olduğunu ve sonucun 28’in yarısı 14 ten çok az olacağı için 13,28 cevabını verdiğini gözlemleniyor.

Yine; kenar uzunlukları 28 ve 47 olan bir dikdörtgenin alanı nedir? sorusuna öğrencilerin çoğu 28 × 47 = 1316 işlemini yaparak cevap verirken bazı öğrencilerin 28’i 30 ve 47’yi 50 yuvarlayarak sonucun 1500 den daha az olacağını tahmini cevap vermişlerdir. Benzer şekilde 8. sınıf öğrencilerine “2/5 ve 3/5 kesirleri arasında ne kadar kesir vardır?” sorusuna öğrencilerin % 46 “hiç yoktur ” cevabını vermişlerdir (McIntosh, Reys ve Reys, 1992). Ülkemizdeki bir ilköğretim okulunun 4. ve 5.sınıf öğrencilerine “750: 0.98 ise sonuç 750 den büyük mü, eşit mi veya küçük mü olur?” sorusuna 4.sınıf öğrencilerinin %74, 5.sınıf öğrencilerinin de %70 doğru cevap verememişlerdir. Doğru cevap verenlerin çoğunluğu ise işlem yaparak cevaplamışlardır. Genelde öğrenciler “bölme işlemi küçültür” gibi bir genellemeden hareketle sonucun 750’den küçük olacağını düşünmüşlerdir (Şengül ve Gürel, 2003). “Sayı duyusu” eksikliğini yansıtan böyle birçok örnek söz konusudur. Öğrencilerin bu gibi sorulara verdikleri cevaplar öğrencilerin sayıları anlamlandırma, işlemlerin sayılar üzerindeki etkisini anlama ve tahmin etme seviyelerini ortaya koymaktadır (Şengül, 2013).

Sayı hissi nedir?

Sayı hissi, sayılar, işlemler ve bunlar arasındaki ilişkileri içeren karmaşık bir süreç olup bu konuda matematik eğitimcileri, bilişsel psikologlar, araştırmacılar, öğretmenler ve matematik müfredatı geliştiricileri arasında birçok tartışmalar yapılmıştır (Howden, 1989; Greeno, 1991; Markovits ve Sowder, 1994; McIntosh, Reys ve Reys, 1992; NCTM, 1989, 2000; Reys, 1994; Reys ve Yang, 1998; Sowder, 1992a, 1992b; Yang, 2002a, 2002b). Bu tartışmalar sonucunda sayı hissinin psikolojik temelleri sağlanmış (Case ve Sowder, 1990); teorik yapısı önerilmiş (Greeno, 1991; McIntosh, Reys ve Reys, 1992); özellikleri tanımlanmıştır (Howden, 1989; Reys, 1994).

Hope’a (1989) göre sayı hissi en genel tanımı ile sayıların çeşitli kullanım alanları hakkında mantıklı tahminler yapabilme, aritmetik hataları fark edebilme, en etkili hesaplama yolunu seçebilme ve sayı örüntülerini fark edebilme hissidir. Greeno (1991) ise sayı hissini esnek düşünme, hesaplamada tahmin becerisi ve sayısal miktarlar hakkındaki çıkarım ile muhakeme yeteneği olarak tanımlamıştır. Reys, Reys, McIntosh, Emanuelsson, Johansson ve Yang’ a (1999) göre sayı hissi, sayı ve işlemlerin genel anlamının yanı sıra, sayısal durumları yönetmek, yararlı ve etkin stratejileri geliştirmek ve matematiksel yargıları oluşturmak için sayı ve işlemlerin uygun yöntemlerle kullanılması anlamına gelmektedir. Ayrıca; yapılan çalışmalar sonucunda sayı hissinin gerekli bileşenleri belirlenmeye (Sowder, 1992a; Yang, Hsu ve Huang, 2004) çalışılmıştır. Reys ve arkadaşlarının (1999) göre sayı hissi bileşenleri şunlardır.

  • Sayıların anlam ve büyüklüklerini anlama: Bu beceri sayıların göreceli büyüklüğünü fark edebilmeyi belirtir. Örneğin; 2/5 kesrinin 1/2 kesri ile karşılaştırılması istendiği zaman bunun nasıl yapılabileceğini bilme bu becerinin bir göstergesidir (Behr, Wachsmuth, Post ve Lesh, 1984; Cramer, Post ve delMas, 2002).
  • İşlemlerin sayılar üzerindeki etkisini anlama: Bu bileşen hesaplama durumlarında bir sayının veya işlemin değeri değiştiği zaman sonucun nasıl değişeceğini fark etme becerisi ile ilgilidir. Örneğin; 3.91 × 0.95 sorulduğu zaman 0.95 ifadesinin 1’ den küçük olduğu için sonucun 3.91’den daha küçük olabileceğini tahmin edebilme. Yani, çarpma işleminin daima sayıları büyütmeyeceği ve bölme işleminin sayıları daima küçültmeyeceğini hissedebilmeyi ifade eder (Graeber ve Tirosh, 1990; Greer, 1987; McIntosh ve arkadaşları, 1992)
  • Eşdeğer ifadeleri kullanma ve anlama: Sayıların eşdeğerlerini bilme ve gerektiğinde bunu kullanabilme beceridir. Örneğin; m sayısının hangi sayı ile çarpımı 0.25 ile bölümüyle aynı sonucu verir? sorusuna cevap verebilme gibi.
  • Zihinden hesaplama ve hesaplamada esneklik: Bireysel olarak yazılı hesaplama yapmaksızın problem çözebilme ve sonucun uygunluğunu sorgulamak için tahmin etme, zihinden işlem yapabilmeyi vurgular (McIntosh, Reys ve Reys, 1992; Sowder, 1992a). Örneğin; 638.5 × 0.254 = 162179 işleminde ondalıklı basamağın yerini tahmin etmesi istendiği zaman kâğıt ve kaleme bağlı olmaksızın sonucu bulabilme. Burada 0.254 (yaklaşık 1/4) ile 600 çarparak sonucun yaklaşık 150 olacağını ve dolayısıyla cevabın 167.179 olduğuna karar verebilme söz konusudur.
  • Ölçüm referansları (Benchmarks): Bu beceri farklı durumlara uygun olabilecek referans noktalarını belirleme ve kullanmayı içermektedir (McIntosh, Reys ve Reys, 1992). Örneğin, 1, 1/2, 1/3 ve 1/4 sabit noktaları referans nokta alınarak kesirlerin ve ondalıklı sayıların sıralanmasını veya kendi boyunu referans alarak bir futbol sahasının uzunluğunun tahmin edebilme gibi.

McIntosh, Reys ve Reys (1992) sayı duyusu için en detaylı sınıflandırmayı yapmışlardır (Şekil 1). Bu sınıflamada sayı duyusu için bir kavramsal çerçeve oluşturmuştur. Çalışmada oluşturulan kavramsal çerçeve; sayı duyusunun bileşenlerini açıklayan, organize eden ve birbirleriyle ilişkilerini kuran bir yapı sağlamaktadır (Şengül ve Gülbağcı Dede, 2013).

Şekil 1. McIntosh, Reys ve Reys’in (1992) belirlemiş olduğu sayı hissi bileşenleri

Sayı Hissi, Anlamlı Öğrenme ve Üstbiliş Arasındaki İlişki

Şekil2. Sayı hissi ve üstbiliş arasındaki ilişki (Çekirdekçi, 2015)
       Şekil2. Sayı hissi ve üstbiliş arasındaki ilişki (Çekirdekçi, 2015)

Carroll (1996), üstbilişsel becerilerin gelişimine katkı sağlayan iyi bir zihinden hesaplama ve tahmin yeteneğinin sayı hissinin varlığının kanıtı olduğunu, bu yeteneklerin ek olarak sayı hissinin gelişimini desteklediğini belirtmektedir. Zihinden hesap ve tahmin, problem çözme yaklaşımı olarak düşünüldüğünde öğrenciler kendi stratejilerini geliştirme eğiliminde bulunurlar. Böylece zihinden hesap ile tahmin üst düzey düşünme becerilerini içerir.

Üstbiliş; bireyin beyninin belli bir kısmında bir yere sahip olmamakla beraber algı, dikkat gibi birçok işlevi kontrol eden, bilişe ait bir parçadır (Baykara, 2011; Brown, 1980). Resnick’te sayı hissini üst düzey düşünme becerileri ile ilgili bir kavram olarak nitelendirirken; Carpenter (1989) ise sayı hissinin bir bilgi topluluğu olmayıp, bir düşünme şekli olduğu görüşünü savunmaktadır. Yapılan tanımlar birlikte ele alındığında bir düşünme şekli olan sayı hissinin iyi bir şekilde kullanılabilmesi için algı, dikkat, esnek düşünme, strateji geliştirme gibi beceriler gereklidir. Üstbiliş, bu becerileri kontrol eden bilişe ait bir parça olduğuna göre sayı hissi üzerinde de kontrol görevi bulunmaktadır.

McIntosh, Reys ve Reys (1992) sayılar ve işlemler arasındaki bağlantıların, üstbiliş ve problem çözme aktivitelerinde kullanılan bağlantılarla benzer olduğunu söylemektedir. Birey sayı hissine başvururken problemi planlamakta, süreci izlemekte ve sonucu değerlendirmektedir. Bütün bunları yaparken de algılama, hatırlama ve düşünmesinde yer alan zihinsel faaliyetlerin farkında olarak kendi bilişsel süreçlerini kontrol edebilme ve yönlendirebilmektedir. Bu durum sayı hissini kullanma süreci ve üstbilişsel süreçle paralellik göstermektedir. Yang (2003) sayı hissinin kavramsal anlayışa odaklandığını belirtmektedir. Kavramlar arasında bağlantı kurulmasını, sayı örüntülerinin görülmesini ve sayısal hataların fark edilmesini sağlayan sayı hissi, kavramları anlamayı böylece anlamlı öğrenmeyi içermektedir. Sayı hissi ve üstbiliş arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.

Sayı Hissi Nasıl Gelişir?

Sayı hissi ile ilgili çalışmalar incelendiğinde, sayı duygusunun geliştirilebilir olduğu görülmektedir. ( Yang, Hsu ve Huang, 2004; Yang, 2003; Joyce Cutler, 2000; Reys ve Yang 1998) Bu çalışmalara göre, sayı hissini geliştirmek için yapılması gerekenleri aşağıdaki gibi sıralayabiliriz:

  • Sayı hissinin öğretilmesi kavramsal anlamaya odaklanır. Çocuklar, anlamlı öğrenme yollarını izlemeye yönlendirilmelidir.
  • İletişimi, araştırmayı, tartışmayı, düşünmeyi ve muhakemeyi teşvik eden bir sınıf ortamı oluşturulması gerekmektedir.
  • Öğretmenler daima yanıtlardan ötesini araştırmalı ve öğrencilerinden yanıtların ötesini beklemelidirler.
  • Kural esaslı yöntemlerin sık sık kullanılmasından kaçınılmalıdır.
  • Öğretmenler kitaplarda yazanlardan farklı olarak teşvik edici sorular sorarak, tartışmalar açarak, öğrencilere, iletişim kurmaları, düşünce ve nedenlerini sınıf arkadaşlarıyla paylaşmaları için fırsat vermelidir.
    Öğrencilere yöneltilen problemler konulu problemlere çevrilip gerçek yaşam durumları ile bağlantı kurulması sağlanmalıdır.
  • Sayı hissi kavramının doğasını ve çocukların matematik gelişimleri üzerindeki önemini anlamaları için matematik öğretmenlerini teşvik etmek gereklidir.
  • Sayı hissi konusunda bilgili olan ve bu uygulamayı takdir eden bir öğretmen, öğrencileri ile çalışırken sayı hissi kavramına daha da dikkat edecektir. Öğretmenlerin sayı hislerinin geliştirilmesi gerekmektedir.

 

Kaynakça

Baykara, K. (2011). Öğretmen adaylarının bilişötesi öğrenme stratejileri ile öğretmen yeterlik algıları üzerine bir çalışma. Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 80-92.
Behr, M. J., Wachsmuth, I., Post, T. R., & Lesh, R. (1984). Order and equivalence of rational numbers: Aclinical teaching experiment. Journal for Research in Mathematics Education, 15, 323-341.
Brown, A. L. (1980). "Metacognitive development in reading." In R. J. Sprio: B.C.Bruce; and W.F.Brewer (eds.) Theoretical Issues In Reading Comprehension. Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Carroll, W. (1996). Mental computation of students in a reform-based mathematics curriculum. School Science and Mathematics, 96(6), 305-311.
Carpenter, Thomas, P., (1989). Number sense and other nonsense. In J. T. Sowder ve B. P. Schappelle (Eds.), Establishing foundations for research on number sense and related topics: Report of a Conference (pp. 89-91). San Diego, CA: San Diego State University, Center for Research in Mathematics and Science Education.
Cramer, K.A., Post, T.R., & delMas, R.C. (2002). Initial fraction learning by fourth- and fifth-grade students: A comparison of the effects of using commercial curricula with the effects of using the rational number project curriculum. Journal of Research in Mathematics Education, 33(2), 111–144.
Çekirdekçi, S.(2015). İlkokul 4. sınıf öğrencileri için sayı hissi testinin geliştirilerek öğrencilerin sayı hislerinin incelenmesi. Yayınlanmamış doktora tezi. Marmara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü. İstanbul.
Graeber, A.O., & Tirosh, D. (1990). Insights fourth and fifth grades bring to multiplication and division with decimals. Educational Studies in Mathematics, 21, 565–588.
Greeno, J.G. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22, 170–218.
Greer, B. (1987). Nonconservation of multiplication and division involving decimals. Journal for Research in Mathematics Education, 18, 37–45.
Hope, J. A. (1989). Promoting number sense in school. Arithmetic Teacher, 36(6), 12-16.
Howden, H. (1989). Teaching number sense. Arithmetic Teacher, 36, 6–11.
Markovits, Z., & Sowder, J.T. (1994). Developing number sense: An intervention study in grade 7. Journal for Research in Mathematics Education, 25(1), 4–29.
McIntosh, A., Reys, B. J., & Reys, R.E. (1992). A proposed framework for examining basic number sense. For the Learning of Mathematics, 12(3), 2–8.
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (2000). The principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.
Reys, B. J. (1994). Promoting number sense in middle grades. Teaching Mathematics in the Middle School, 1(2), 114–120.
Reys, R. E., & Yang, D. C. (1998). Relationship between computational performance and number sense among sixth- and eighth-grade students in Taiwan. Journal for Research in Mathematics Education, 29, 225–237.
Reys, R. E., Reys, B. J., McIntosh , A., Emanuelsson, G., Johansson, B., & Yang, D. C. (1999). Assessing number sense of students in Australia, Sweden, Taiwan and the United States. School Science and Mathematics, 99 (2), 61–70.
Sowder, J. (1992a). Estimation and number sense. In D.A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 371–389). New York: Macmillan.
Sowder, J. (1992b). Making sense of numbers in school mathematics. In G. Leinhardt &R. Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for mathematics teaching (pp. 1–51). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Şengül, S. (2013). Sınıf öğretmeni adaylarının kullandıkları sayı duyusu stratejilerinin belirlenmesi. Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri, 13(3), 1951-1974.
Şengül,S. & Gülbağcı Dede, H. (2013). Sayı hissi bileşenlerine ait sınıflandırmaların incelenmesi. The Journal of Academic Social Science Studies. 6(8), 645-664.
Şengül, S., & Gürel, Z. (2003). Evaluation of students’ number of sense. Department of mathematics and mathematical education, Faculty of Education, Charles University, SEMPT 2003. CZEC.
Yang, D. C., Hsu, C. J., & Huang, M. C. (2004). A study of teaching and learning number sense for sixth grade students in Taiwan. International Journal of Science and Mathematics Education, 2(3), 407–430.
Yang, D. C. (2003). Teachıng and learnıng number sense–an ınterventıon study of fıfth grade students in Taıwan. International Journal of Science and Mathematics Education, 115-136.

Page 1 of 2

Sayılar 2020

Apsistek

Vizetek

ISSN: 2687-3575

Email: apsistekdergi@gmail.com

0312 482 00 11

0544 482 0017

Harbiye Mah. Hürriyet Cadd. 56/A Çankaya/ANKARA